HDU 4059 容斥原理及其应用

容斥原理是计数中常用的一种方法。在讨论容斥原理的过程中，要用到以下集合论的基本性质。

德摩根(De Morgan)定理

     若A和B是集合U的子集，则

 

题意：给一个数n(n=10^8)，求X1^4+X2^4+..Xk^4的和模1,000,000,007，其中1<=Xi<n，且Xi与n互素。

解：

    四次方求和公式为：n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n*n+3*n-1)/30

    将n分解素因子为p1^e1*p2^e2*..*pk^ek，设集合Ai为pi的整数倍的数的集合。则答案为U-|A1UA2U...UAk|。

    求|A1UA2U...UAk|即可用容斥原理求解。

    注意先求30在模1,000,000,007下的逆元。

时间复杂度分析：

    n为10^8，素因子分解最多有10个左右，容斥原理求解计算次数大约为2^10，复杂度已经很低了。

#include<cstdio>

#include<cstring>
typedef long long ll;
const ll MOD=1000000007;
const int nPri=10005;
ll factor[64],res;
int prime[nPri],cnt;
bool is_pri[nPri];

void Prime()
{
	memset(is_pri,1,sizeof(is_pri));
	cnt=0;
	int i,j;
	for(i=2;i<nPri;i++)
	{
		if(is_pri[i])
		{
			prime[cnt++]=i;
			for(j=i+i;j<nPri;j+=i)
			{
				is_pri[j]=false;
			}
		}
	}
}

ll PowMode(ll a,ll b)
{
	ll ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ret=(ret*a)%MOD;
		}
		a=(a*a)%MOD;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}

int getFactor(ll n)
{
	int i,count=0;
	for(i=0;i<cnt;i++)
	{
		if(n<prime[i])
		{
			break;
		}
		if(n%prime[i]==0)
		{
			factor[count++]=prime[i];
			while(n%prime[i]==0)
			{
				n/=prime[i];
			}
		}
	}
	if(n!=1)
	{
		factor[count++]=n;
	}
	return count;
}

ll get_sum(ll n)
{
	ll ans=n;
	ans=(ans*(n+1))%MOD;
	ans=(ans*(2*n+1))%MOD;
	ans=(ans*((3*n*n+3*n-1)%MOD))%MOD;
	ans=(ans*res)%MOD;
	return ans;
}

ll dfs(ll n,int start,int count) //容斥原理
{
	ll ans=0;
	int i;
	for(i=start;i<count;i++)
	{
		ll temp=PowMode(factor[i],4);
		ans=(ans+ (temp*get_sum(n/factor[i]))%MOD-
				(temp*dfs(n/factor[i],i+1,count))%MOD + MOD)%MOD;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	Prime();
	res=PowMode(30,MOD-2);

	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		ll n;
		scanf("%I64d",&n);
		int count=getFactor(n);
		ll ans=(get_sum(n)-dfs(n,0,count)+MOD)%MOD;
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}