传智杯第四届初赛 B小卡与质数2

最新推荐文章于 2025-03-07 13:52:23 发布

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#算法 #c++

这篇文章讲解了小卡如何通过质数异或性质解决质数查询问题，涉及二进制分析、位操作和质数计数技巧。通过预处理质数和前缀和，快速计算每个询问下符合条件的质数数量。

小卡与质数2

题目地址

https://www.luogu.com.cn/problem/T216909?contestId=58544

题目背景

小卡迷上了质数！

题目描述

小卡最近迷上了质数，所以他想把任何一个数都转化为质数！

小卡有 $T$ 次询问，每次给你一个数字 $x$ ，问有多少个比 $x$ 小的非负整数 $y$ ，使得 $x⊕yx\oplus y$ 是质数，其中 $⊕\oplus$ 表示按位异或。

输入输出格式

输入格式

第一行一个正整数 $T(1\le T\le10^5)$，表示有 $T$ 组询问。

接下来 $T$ 行，每行一个正整数 $x(1≤x≤106)x(1\le x\le 10^6)$ 。

输出格式

对于每组询问，输出一行一个整数，表示答案。

输入输出样例

输入样例 #1

输出样例 #1

思路：

$x⊕yx\oplus y$ 是质数， $y < x$ ，那么假设x的二进制位为1010，如果y在x二进制为1的位上为0，那么y就一定小于x，即y的二进制为0***，100*，表示任意数字。 1010和0**异或后的数是质数，大小范围一定在 $[8, 15]$ 之间,那么就看8-15之间有多少质数；1010和100异或后，质数大小范围一定在[2, 3], 那么看2-3之间有多少质数。
因此我们可以发现x的二进制有k位，第i位为1，那么y在前i-1位和x保持一致，第i位为0，后续数字任意排列，都会比x小；这样 $x⊕yx\oplus y$ 的质数一定在 $2^i, 2^i *2 - 1]$

算法实现

首先预处理出质数，由于异或后的数字可能比x大，但总会小于 $2 x$ ,所以预处理的质数范围设定在2000000，之后利用前缀和再预处理出1-2000000之间有多少质数。对于每个询问t，分别求出x的二进制位，如果第i位为1，那么必然存在小于x的数能够异或出 $2^i, 2^i *2 - 1]$ 之间的质数，因此利用前缀和查询对应区间质数的数量。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;

int primes[N], cnt;
bool st[N];
int sum[N];

void get_primes(int n)  // 线性筛质数
{
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!st[i])		primes[cnt ++] = i;
		for(int j = 0; i * primes[j] <= n; j ++)
		{
			st[i * primes[j]] = true;
			if(i % primes[j] == 0)		break;
		}
	}
}

int main()
{
	get_primes(2000000);  // 预处理质数
	
	for(int i = 2; i <= 2000000; i ++)
	{
		if(!st[i])		sum[i] = sum[i - 1] + 1;
		else			sum[i] = sum[i - 1];
	}
	
	int t, x;
	scanf("%d", &t);   
	while(t --)
	{
		scanf("%d", &x);
		int ans = 0;
		for(int i = 31; i >= 0; i --)  // 枚举第i位是否为1
		{
			if(x >> i & 1)
			{
				int a = 1 << i, b = (1 << (i + 1)) - 1;
				ans += sum[b] - sum[a - 1];  // 查询[2 ** i, 2 ** (i + 1) - 1]区间有多少个质数
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	} 
	
	return 0;
}