leetcode 440. 字典序的第K小数字

题目地址(440. 字典序的第K小数字)

https://leetcode-cn.com/problems/k-th-smallest-in-lexicographical-order/

题目描述

给定整数 n 和 k，返回  [1, n] 中字典序第 k 小的数字。

 

示例 1:

输入: n = 13, k = 2
输出: 10
解释: 字典序的排列是 [1, 10, 11, 12, 13, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]，所以第二小的数字是 10。


示例 2:

输入: n = 1, k = 1
输出: 1


 

提示:

1 <= k <= n <= 109

前置知识

字典序
先序遍历

思路

直观想法：将1 - n的数字转换为字符串，排序找到第k小的数字，但数据范围过大，时间复杂度过高。
利用字典树的特性将所有小于等于 n 的数字按照字典序的方式进行重建，可以得到如下:

图片来源: leetcode官方题解

前序遍历该字典树即可得到字典序从小到大的数字序列，遍历到第 k 个节点即为第 k 小的数字，因此构建该字典树后先序遍历，便可得到结果，时间复杂度为$O(k)$, 时间复杂度仍然过高。原因就是先序遍历是一个一个都走到，因此可以在遍历时加一些优化，使得遍历的节点少一些。
优化的思路就是不必一个一个向下访问到每个叶节点，而是尽量在父节点就做出判断。
在字典树的先序遍历中，发现当访问到$cur$节点时，可以判断第$k$个数是否在当前以$cur$节点为根的子树中。如果第k个数在子树中，在向下遍历，否则向右遍历，去查找第$k-以cur节点为子树的大小$的数，这样可以跳过以$cur$节点为根的子树不用访问。

那么如何判断第$k$个数是否在以$cur$节点为根的子树？
这里按照层序遍历的思想，当前的前缀为$cur$, 下一种前缀为$cur+1$,记为$next$；
两个节点分别向下扩展，由于是十叉树，所以下一节点$cu{r}^{\prime }=cur\ast 10$, $nex{t}^{\prime }=next\ast 10$
$nex{t}^{\prime }-cu{r}^{\prime }$就能够得到$cu{r}^{\prime }$这一层的所有节点;在保证小于等于$n$的前提不断向下遍历，统计出每层的节点数。在最后一层的时候，为了保证小于等于$n$，该层的有效范围的右端点为$n$; 所以每层的最右侧节点应该为 $min(next-1,n)$
统计出所有小于等于n的以$cur$为根的子树的节点个数和$sum(cur)$，和$k$作比较

• 如果满足$sum(cur)>=k$, 说明，则此时可以肯定第 k小的节点一定在$cur$为根构成的子树中，则此时需要在cur的孩子节点中依次进行查找。减去cur根节点,向下遍历。
• 如果满足$sum(cur)<k$, 说明，则此时可以肯定第 k小的节点一定不在$cur$为根构成的子树中，则从下一种前缀next开始，查找第$k-sum(cur)个节点$

代码

• 语言支持：C++

C++ Code:

class Solution {
public: 
    int nodeCount(long long cur, int n)  // 统计以cur为根的在合法范围的子树的大小
    {
        long long next = cur + 1;   

        int res = 0;
        while(cur <= n)     // 统计每层的节点
        {
            res += min(next - cur, n - cur + 1);  // 每层节点的右边界为min(n, next)
            cur *= 10;
            next *= 10;
        }

        return res;  // cur为根的子树的节点数目总和 
    }
    int findKthNumber(int n, int k) {
        int cur = 1;
        while(k > 1)
        {
            if(nodeCount(cur, n) >= k)  // cur为根的子树的节点数目总和 >= k
            {
                k --;         // 去掉cur节点         
                cur *= 10;   // 向下搜寻
            }
            else
            {
                k -= nodeCount(cur, n);  // 去掉cur为根的子树的节点数目总和 
                cur ++;                  // 遍历下一种前缀
            }
        }

        return cur;
    }
};

复杂度分析

令 n 为数组长度。

• 时间复杂度：$O(log(N))$
• 空间复杂度：$O(1)$