第四届传智杯初赛_小卡与质数2

[传智杯 #4 初赛] 小卡与质数2

题目背景

小卡迷上了质数！

题目描述

小卡最近迷上了质数，所以他想把任何一个数都转化为质数！

小卡有 $T$ 次询问，每次给你一个数字 $x$，问有多少个比 $x$ 小的非负整数 $y$，使得 $x\oplus y$ 是质数，其中 $\oplus$ 表示按位异或。

输入格式

第一行一个正整数 $T(1\le T\le 10^5)$，表示有 $T$ 组询问。

接下来 $T$ 行，每行一个正整数 $x(1\le x\le 10^6)$。

输出格式

对于每组询问，输出一行一个整数，表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

9
5
6
7
8
9
10
100
1000
10000

样例输出 #1

2
4
4
2
2
4
22
163
1132

算法(思维,二进制,素数筛,前缀和)

$x\oplus y=p(y<x)$
要枚举 $y$，时间复杂度$O(Tx)$
$x\oplus y=p\to x\oplus p=y(y<x)$
要枚举 $p$ ，时间复杂度 $O(Tz)$ 。百万内的质数有$z$个（几万）。
因为 $y<x$，异或后值变小。什么情况异或后值会变小？
设 $x=(100100{)}_2$
要想异或后值变小，$1$必须变成$0$

$1\oplus 1=0$

• 第一个$1$
  $100100\oplus 1\ast \ast \ast \ast \ast =0\ast \ast \ast \ast \ast <100100$
  换言之，$100100\oplus (100000\sim 111111)$的值都小于$100100$
  即，$x\oplus (2^5\sim 2^6-1)$
  的值小于 $x$
  现在我们只要算出 $(2^5\sim 2^6-1)$
  有几个质数即可，前缀和。

• 第二个 $1$
  $100100\oplus 0001\ast \ast =1000\ast \ast <100100$
  换言之， $100100\oplus (000100\sim 000111)$ 的值都小于 $100100$
  即， $x\oplus (2^2\sim 2^3-1)$
  的值小于 $x$
  现在我们只要算出 $(2^2\sim 2^3-1)$ 有几个质数即可。

总之，若 $x$ 的第 $i$ 位为 $1$，算出 $2^i\sim 2^{i+1}-1$有多少个质数累加即可。

注意，$x\oplus p=y(y<x)$， $p$ 有可能超过 $x$ 。

代码(C++)

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2e6 + 10;

bool st[N];
int s[N];

int lowbit(int x)
{
	return x & -x;
}

void get_prefix()
{
	st[0] = st[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= N - 10; i ++)
	{
		if(st[i]) continue;
		for(int j = i + i; j <= N - 10; j += i) st[j] = 1;
	}
	
	for(int i = 1; i <= N - 10; i ++) s[i] = s[i - 1] + (!st[i]);
}

int main()
{
	
	get_prefix();
	
	int T;
	scanf("%d", &T);
	while(T --)
	{
		int x;
        scanf("%d", &x);
        
        int res = 0;
        while(x)
        {
        	int t = lowbit(x);
        	res += s[(t << 1) - 1] - s[t - 1];
			x -= t;
		}
		cout << res << endl;
	}
	
	return 0;
}