《算法很美》1. 位运算（python实现）

《算法很美》python实现 记录python算法学习
python入门，开始学习算法，通过写博客记录，总结，巩固学习成果。
代码通过python实现，学习参考资料为蓝桥学院《算法很美》

位运算
位运算符号：&(位与)，|（位或），^（位异或）
&：对应数位都是1，该位运算结果才为1

|：对应数位只要有1个为1，该位运算结果就为1

^: 对应数位相同（同1 或 同0），该位运算结果为1

位运算基础运用：
① 判断奇偶数
原因：将待判断的数转换为二进制数，若为奇数，二进制最后一位为1，否则，二进制最后一位为0，因此，让待判断的数和1做位与运算，结果为1，则为奇数，反之，则为偶数。

n=int(input())
if n&1==1:
	print(n,"为奇数")
else:
	print(n,"为偶数")

② 获取二进制某位是0 还是1
方法：通过位移运算符，将查找某位移到最低位，和1做位与运算，结果为1，则该位为1，反之，则为0

a=13    # 1101
b=14    # 1110
#判断a ,b值对应的二进制的倒数第二位
result1=(a>>1)&1
result2=(b>>1)&1
print(result1,result2)   #1 0

例题1 寻找数组中落单的数
一个数组除了某一个数字之外，其他的数字都出现了两次。请写一个程序找出这个只出现一次的数字
思路：运用异或运算
首先，明确异或运算的相关知识点
^:对应数位相同（同1 或 同0），该位运算结果为1
A^A=0
A^0=A
数组=[X1,X2,X3,X4……Xn]
因为A ^ A=0，那么对该数组所有元素求异或运算，即X1^ X2^ X3^ X4^ ……^ Xn,其中出现两次的数字Xi ^ Xj=0,最后X1^ X2^ X3^ X4^ ……^ Xn=X单^0=X单
代码如下：

numlist=[1,1,2,3,4,6,3,4,2,]            #该数组落单的数字位6
res=0
for i in range(len(numlist)):           #对数组所有元素进行^运算
    res^=numlist[i]
print(res)                              #输出的是6

例题2 寻找数组中成对的数
1-1000这1000个数放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素重复，其他的数字均只出现1次，每个数字只能访问一次，设计一个算法，将他找出来，不用辅助储存空间
思路：同上题，运用异或运算，稍微有点小变通
A^A=0
A^0=A
若像上题所有元素进行异或运算，那么相同的那两个数结果为0，被消去，不可行。
假设成对的数为k，那么对该数组所有元素进行异或运算（1^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ ……^ k ^ k ^ … …^ 999^1000)[1001个数] ，在和( 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ … … ^ 999 ^1000)[1000个数]进行异或运算，即（ 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ …… ^ k ^ k ^ …… ^ 999 ^ 1000) ^ ( 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ … ^k … ^ 999 ^1000) ,那么之后成对的数多了1个，变为了3个，其位运算结果k ^ k ^ k=0 ^ k =k，其余出现一次的数成对，其位运算结果为0，就类似例题一的情况。
代码如下：

import random
numlist1=[i for i in range(1,1001)]
a=random.randrange(1,1001)          #生成一个随机数
numlist1.append(a)  #随机添加一个数，使得一个数成对，
res1=0
for i in range(len(numlist1)):
    res1^=numlist1[i]       #1^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ ……^ k  ^  k ^ … …^ 999^1000
numlist2=[j for j in range(1,1001)]
res2=0
for i in range(len(numlist2)):
    res1^=numlist2[i]           #1 ^  2 ^ 3 ^ 4 ^ … ^k … ^  999 ^1000
print(res1^res2)  
print(a)            #输出的res1^res2 ， a 是相同的 

例题3 二进制中1的个数
输入一个整数，输出该数二进制的1的个数
解法有很多种：
法一：设置一个count变量，将该数转变成一个二进制数字符串，碰到1，则count加1，遍历完，count为最终结果。
法二：利用位移运算符，同样设置一个count变量，不断向右移动1位，和1做位与运算，看最低位是否为1，统计到以count变量
法三：统计二进制1的个数，就看二进制数中的1被消除几次。
不断减1法
以11为例子，11的二进制为1011，11-1=10，二进制表示为（1011-0001=1010）10和11做位与运算，二进制：1011&1010=1010 ，可见11和（11-1）做与运算，把从右往左出现的第一个1消除了，接着10-1=9，二进制：1010-0001=1001
10和9做与运算，二进制：1010&1001=1000， 把从右往左出现的第二个1消除了，接着9-1=8，二进制：1001-0001=1000，9和8做与运算，二进制：1000&0111=0000，到这0000为终止条件，期间减去了3个1，每减去1个1，x&（x-1）使得二进制数x从右往左出现的第一个1消除了
代码如下：

count=0
n=int(input())
while n!=0:     #n=0为终止条件
    n=n&(n-1)       #消去一个1，count就加1
    count+=1
print(count)

例题4 判断一个数是否是2的n次方
观察是2的n次方的数的二进制表达，4：0100，8：0100，16：1000，其二进制表达式1的个数为1，其余全为0，联想上道题，判断二进制中1的个数，因此判断一个数是否是2的n次方，就是判断二进制中1的个数是否为1
代码如下

n=int(input())
print(n&(n-1)==0)		#输出True 则是2的n次方

例题4 将二进制的奇偶位互换
思路：将奇数位和偶数位分开
二进制数位运算中，对应每位中，和0做与运算，被消去，变为0，和1做与运算，表示保留，0还是0，1还是1
以9为例子，其二进制为1001
分别和1010和0101做与运算
1001 & 0101 = 0001 得到了偶数位
1001 & 1010 = 1000 得到了奇数位
这样奇数位和偶数位便分开了
奇数位和偶数位互换，可通过位移运算符>>,<<
将奇数位>>1,偶数位<<1，二者进行异或运算便得到了结果
即(1000>>1)^(0001<<1)=0110

num=int(input())                
binarynum=format(num,"b")
binarynum="{:0>8}".format(binarynum)        #转为二进制数字符串
num01=int("01"*(len(binarynum)//2),2)       #01为了获得其偶数位
num10=int("10"*(len(binarynum)//2),2)       #10为了获得其奇数位
res=((num&num01)<<1)^((num&num10)>>1)       #偶数位左移，奇数位右移，再做异或运算
print(res)                                  #输出的是对应十进制

例题5 二进制表示浮点实数
给定以给0-1的实数，例如0.625，打印他的二进制位：0.101，因为小数点后面的二进制为：0.5，0.25，0.125…如果该数字不能用32位以内的二进制精确表示 ，则输出“Error”
代码如下：

n=eval(input())
resstr="0."
error=False
while n>0:
    n=n*2		#乘2
    if n>=1:
        n-=1		#去整数
        resstr+="1"
    else:
        resstr+="0"
    if len(resstr)>34:
        print("ERROR")
        error=True
        break
if not error:
    print(resstr)

例题6
数组中某个数只出现了1次，其余数字出现了k次，请输出出现一次的这个数字（k>=2）
思路分析：
以k=3举例
三个三进制相加，做不进位加法！！！得到的是0
（不进位加法：当两数相加时，某一位的结果每大于等于该数对应的进制，不需要需要向上一位进1）
如3个7相加，7的三进制位21
21
21
21
——
00
同理两个二进制数相加，做不进位加法！！！得到的也是0
由此，我们可以知道
k个k进制数做不进位加法，结果为0
回到题目，将数组所有数字转为k进制，所有数字做不进位加法，那么出现k次的数字得到0，最后剩下出现1次的数字，再将该数字的k进制转为10进制

定义一个转换进制的函数

def tostr(num,base):
    convertstring="0123456789ABCDEFG"
    if num<base:
        return convertstring[num]
    else:
      return tostr(num//base,base)+convertstring[num%base]

定义一个数组，以k=3为例
定义一个列表，用来储存转换为三进制的结果
还需要定义一个变量，来储存转为三进制字符串的最大长度。

numlist=[2,7,8,9,7,8,9,7,8,9]
k=3
Ternarynum=[]           #三进制字符数组
maxlen=0

将数组中的数转换为三进制数，还需要倒置。
原因：保证后面做不进位加法，低位能够对齐
以12，7为例，转为三进制数110，11
倒置后：
011
11
各自的最低位对应着最低位

for num in numlist:
    if len(tostr(num,k)[::-1])>maxlen:
        maxlen=len(tostr(num,k)[::-1])
    Ternarynum.append(list(tostr(num,k)[::-1]))

转换为三进制数后做不进位加法

result=[]
for i in range(maxlen):
    thesum=0
    for j in range(len(Ternarynum)):
        if i>=len(Ternarynum[j]):
            thesum+=0
        else:
            thesum+=eval(Ternarynum[j][i])
    result.append(thesum%k)

最后得到的就是单独出现的数，因为之前倒置过，所以先倒置回来，然后转为10进制输出

resultnum=""
for i in result:
    resultnum+=str(i)
resultnum=resultnum[::-1]
print(int(resultnum,k))