前缀和、差分

最新推荐文章于 2025-04-25 21:12:48 发布

独陷泥沼

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文章标签：算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Madtlg/article/details/129726509

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文章介绍了前缀和的概念及其在一维和二维数组中的应用，用于快速计算数组段的和。一维前缀和通过累加实现，二维前缀和通过双重循环更新。差分数组则是前缀和的逆过程，用于便捷地对数组元素进行区间加法操作。同时，文章给出了动态插入和修改的示例代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一维前缀和

a1 a2 a3 a4 a5 ......... ai

s1=a1

s2=a1+a2=s1+a2

s3=a1+a2+a3=s2+a3

si=a1+a2+a3+......+ai=s i-1 +ai

<1>如何求 Si

s[0]=0,s[1]=a[1];
for(int i=2;i<n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];

<2>作用：快速求出原数组里一段数的和 [ l , r ]

a[l]+a[l+1]+a[l+2]+....+a[r-1]+a[r]
s[r]-s[l-1]

二维前缀和

x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]
x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[x[1-1]],y[2]
x[],y[]	x[],y[]	x[1],y[1]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]
x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]
x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]
x[],y[]	x[2],y[y[1]-1]	x[],y[]	x[],y[]	x[],y[]	x[2],y[2]

问题：求红色区域的和

解答:

S[x2][y2]-S[x1-1][y2]-S[x2][y1-1]

问题：求S[i][j]

解答:

for(int i=1;i<n;i++)
    for(int j=1;j<m;j++)
       S[i][j] = a[i][j] + S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1];

*	*	*	*	*	*
*	*	*	*	*	*
*	*	*	*	*	*
*	*	*	*	*	*
*	*	*	*	s[i-1][j-1]	s[i-1][j]
*	*	*	*	s[i][j-1]	s[i][j]

一维差分：

原数组是前缀和数组的差分数组

设 s 是 a 的前缀和，a 是 s 的差分数组
s[i]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+.....+a[i];

a[1]=s[1]
a[2]=s[2]-s[1]
a[3]=s[3]-s[2]

a[i]=s[i]-s[i-1]

作用：

通过差分数组，快速使原数组在一段长度上，每个都加上一个数 c

s[ l , r ]+c: s[l]+c , s[l+1]+c , s[l+2]+c ..... s[r-1]+c , s[r]+c

令：b[l]+c  

a[l]=b[1]+b[2]+b[3]+...+(b[l]+c)

a[l+1]=b[1]+b[2]+b[3]+...+b[l]+b[l+1]+c

令：b[r+1]-c  a[r+1]与其后的c就会被消去

例题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+10;
int s[N],a[N];

void insert(int l,int r,int c)
{
    a[l]+=c;
    a[r+1]-=c;
}

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        insert(i,i,s[i]);
    }
/*
通过insert函数，动态创建差分数组
a[1]=s[1] *
a[2]=-s[1]
————————————————
a[2]=s[2]-s[1] *
a[3]=-s[2]
————————————————
a[3]=s[3]-s[2] *
s[4]=-s[3]
*/
    
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        insert(l,r,c);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];//把自己变成前缀和数组
    
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";
    
    return 0;
}

4.二维差分



*x1 y1	*	*	8x1 y2	x1 y2+1
*			*
*x2 y1	*	*	*x2 y2
x2+1 y1				x2+1 y2+1

目标:使图中矩阵都 + c

a[x1][y1] += c
a[x2+1][y1] -=c
a[x1][y2+1] -=c
a[x2+1][y2+1] +=c


也可动态创建二维差分数组
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
    a[x1][y1]+=c;
    a[x1][y2+1]-=c;
    a[x2+1][y1]-=c;
    a[x2+1][y2+1]+=c;
}