RSA分解算法大全

整数分解算法对比表

算法名称	时间复杂度	适用位数	核心原理	优点	缺点	典型案例
试除法	$O(\sqrt{n})$	<15位	逐个试除≤$\sqrt{n}$的素数	实现简单	极慢	$143=11\times13$
费马分解法	$O(n)$	15-25位	$n=a^2-b^2$	平方数附近快	一般情况慢	$8051=97\times83$
连分数法(CFRAC)	$e^{O(\sqrt{\ln n \ln \ln n})}$	40-70位	连分数逼近	比Dixon快	内存大	50-70位分解
Pollard Rho	$O(n^{1/4})$	15-40位	随机游走找循环	内存低	概率性	$10403=101\times103$
Pollard p-1	$O(B \log B)$	20-50位	利用$p-1$平滑性	找特殊因子	依赖$p-1$性质	RSA弱密钥
Williams p+1	同p-1	20-50位	利用$p+1$平滑性	补充p-1	更局限	较少使用
欧拉分解法	$O(n^{1/2})$	15-25位	$n=a^2+b^2$	理论意义	效率低	教学示例
SQUFOF	$O(n^{1/4})$	20-50位	连分数平方形式	内存极低	实现复杂	$10^{15}$内数字
Dixon算法	同CFRAC	30-50位	随机平滑数	理论奠基	已被取代	教学使用
二次筛法(QS)	$e^{O(\sqrt{\ln n \ln \ln n})}$	50-100位	筛法找平滑数	百位内最佳	>100位慢	RSA-129
MPQS	优化QS	50-130位	多项式优化	比QS快2倍	更复杂	RSA-130
SIQS	优化QS	50-130位	自初始化优化	最快QS变种	最难实现	挑战数字
ECM	$e^{O(\sqrt{\ln p \ln \ln p})}$	50-200+位	椭圆曲线阶数	找小因子强	不保证成功	248位数因子
GNFS	$e^{O((\ln n)^{1/3})}$	100+位	数域多项式	大数标准	需超算	RSA-250
SNFS	优化GNFS	100+位	特殊形式优化	比GNFS快10倍	仅限特例	$2^{1039}-1$
Shor算法	$O((\log n)^3)$	任意位	量子傅里叶变换	理论最快	需量子计算机	$15=3\times5$

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工具：
YAFU              - Quadratic Sieves (SIQS/MPQS/QS), Elliptic Curve Method (ECM), P-1, P+1, Squfof, Rho, and Fast Sieve of Eratosthenes
MSIEVE           - Self-Initializing Quadratic Sieve (SIQS) and Number Field Sieve (GNFS/SNFS)
GMP-ECM      - Elliptic Curve Method (ECM), P-1, P+1
GGNFS           - Number Field Sieve (GNFS/SNFS)
CADO-NFS     -CADO-NFS是C / C ++中数字字段筛选（NFS）算法的完整实现，用于分解整数并计算有限字段中的离散对数。网址：https://cado-nfs.gitlabpages.inria.fr/   https://gitlab.inria.fr/cado-nfs/cado-nfs

网页：
  https://gilchrist.great-site.net/jeff/factoring/index.html?i=2
  https://www.alpertron.com.ar/JAVAPROG.HTM