Shor`s因子分解法——C语言实现

Shor算法是一种量子算法，用于寻找模数N的周期性（即寻找满足gcd(a^(N/2), N) = 1的最小的正整数a）。它是Peter Shor在1994年提出的一种用于因式分解的方法，该方法基于量子计算。

Shor算法的数学原理：

Shor算法利用了周期性在模数运算中的性质。具体来说，如果a是模N的一个生成元（即a^(N/2) mod N = 1），那么a的所有幂次模N的结果将会形成一个周期，这个周期的长度是N的一个因子。通过在量子计算中利用这种周期性，Shor算法能够高效地找到N的因子。

实现Shor算法的步骤详解：

选择一个合适的生成元a：

首先需要找到一个生成元a，使得gcd(a^(N/2), N) = 1。这通常通过试探法实现，即尝试不同的a值直到找到满足条件的一个。

量子计算：

使用量子门实现QFT，将初始的均匀叠加态转换为相位分布态。

在量子计算机上执行这一转换，并通过测量得到一个可能的因子。

经典后处理：

对量子计算机的测量结果进行经典后处理，例如通过扩展欧几里得算法找到因子的正确形式，并验证其正确性。

/*********************************************************************
 *	shor.cc -- Use Shor's Algorithm 
 *		to factor a large long long int
 * 
 *	Compile:
 *	 g++ -s -O4 -o shor shor.c
 *	Invoke:
 *	 ./shor NumbertoFactor InitialK
 * ChangeLog:
 *  970225 -- Created by Paul Herman <a540pau@pslc.ucla.edu>
**********************************************************************/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define max(a,b)	(a<b)? b : a
#define mul(x,y,m) ((__int128)(x)*(y)%m)

inline long long powm(long long x,long long y,long long mod){
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1){
			res=mul(res,x,mod);
		}
		y>>=1;
		x=mul(x,x,mod);
	}
	return res;
}

inline int gcd(int a, int b) {
	if(b > a) {
		a ^= b;
		b ^= a;
		a ^= b;
	}
	while(b > 0) {
		int r = a % b;
		a = b;
		b = r;
	}
	return a;
}

/********************************************************************
/*  Period:  This computes the size of the group generated by a mod n
/*           i.e. |<a>|
/********************************************************************/
int	Period(long int a, long int n) {
	int count;

	count = 1;
	while (powm(a, count, n) != 1){ 
		count++;
		printf("%ld\n",count);
		}
	return count;
}

/*********************
/*  ShorFactor:  Finds a factor of n by looking at the group generated
/*               by <a> mod n.  Let t = |<a>|/2  .  Check to see if
/*               t +/- 1 and n have a common factor.  If not, try another a 
/*********************/

long long int ShorFactor(long long int n) {
	long long int a, t1, t2, f1, f2;
	int r;
  //我在这里改为随机化
	srand(time(NULL));
	a = rand();
	
	for(long int j=2;;j++){
		f1 = gcd(a, n);
		if (f1 != 1) return f1;
    //本质上就是找P序列
		//r = Period(a, n);
		//本质上就是找Q序列
		r = powm(a,j,n);
				
		//t1 = powm(a, r, n);
		
		t1 = powm(a, (r/2), n);
		
		t1 += 1;
		t2 = t1 - 2;
		
		printf("t1 = %ld\n",t1);

		f1 = gcd(t1, n);
		if (f1 != 1){
			 printf("f1 = %ld\n",f1);
			 return f1;
	  }

		f2 = gcd(t2, n);
		if (f2 != 1){ 
			printf("f2 = %ld\n",f2);
			return f2;
	  }

		a += 1;
	}
	return (long long int)1;	// No luck at all (This never happens)
}

int main() {
   long int k;
    	
	 k = ShorFactor(70191551);
	
	 printf("Find q is = %ld\n",k);
	
    return 0;
}