Pollard‘s p-1因子分解法------C语言实现

‌ Pollard's p-1算法 ‌是一种用于分解大整数的算法，特别适用于那些因子减去1后为光滑数（即可以被多个小素数整除的数）的情况。该算法由 约翰·波拉德 （John Pollard）在1975年提出‌。

算法原理

Pollard's p-1算法的核心思想是基于费马小定理 。

算法步骤

1. ‌选择参数‌：选择一个上界B和一个基数a（通常选择2）。
2. ‌计算阶乘‌：计算B的阶乘，即 ( B! )。
3. ‌应用费马小定理‌：由于 ( a^{B!} \equiv 1 \pmod{n} )，可以推导出 ( a^{B!} - 1 ) 是n的倍数。
4. ‌寻找因子‌：通过计算 ( gcd(a^{B!} - 1, n) ) 来寻找n的因子。如果结果不为1且不为n本身，则找到了一个非平凡因子。

设 n−1n−1 的最大质因子是 BB，那么 gcd⁡(2B!−1,n)gcd(2B!−1,n) 是 nn 的一个因数。

费马小定理，at(p−1)−1=kpat(p−1)−1=kp，也就是 p−1∣t⇒p∣at−1p−1∣t⇒p∣at−1。

设 n=pqn=pq，若存在底数 BB 使得 p∣aB−1p∣aB−1 且 q∤aB−1q∤aB−1，那么 gcd⁡(2B!−1,n)gcd(2B!−1,n) 分解 nn。

BB 就是 n−1n−1 的最大质因子，找到的就是 p,qp,q 中 B−smoothB−smooth 的那个。

算法实现

以下是实现的Pollard's p-1算法的基本代码示例：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define mul(x,y,m) ((__int128)(x)*(y)%m)

long long qpow(long long x,long long y,long long mod){
	long long res=1;
	while(y)
	{
		if(y&1){
			res=mul(res,x,mod);
		}
		y>>=1;
		x=mul(x,x,mod);
	}
	return res;
}


int gcd(int a, int b) {
	if(b > a) {// 保证a是大数，b是小数
		a ^= b;// 交换两数的值
		b ^= a;
		a ^= b;
	}
	while(b > 0) {// 终止条件就是b == 0
		int r = a % b;
		a = b;
		b = r;
	}
	return a;
}


long long Pollard_P(long long n){
	long long sqr=(long long)(sqrt(n)+1e-6);
	if(sqr*sqr==n){
		return sqr;
	}
	//printf("s = %ld\n",sqr);

	long long a=2;
	for(int j=2;;j++)
	{
        //printf("a = %ld\n",j);
		a=qpow(a,j,n);
		printf("aa = %ld\n",j);

		long long q=gcd(a+n-1,n);

		if(q>1){
			printf("q = %ld\n",q);
			return q;
		}
	}
	return n;
}

int main(){
    Pollard_P(70191551);
    //Pollard_P(122925017);
	}