Pollard‘s p-1因子分解法------C语言实现

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Pollard's p-1算法原理详解

Pollard's p-1算法是一种高效的整数分解算法，由John Pollard于1974年提出。它特别适用于寻找大整数$n$的素因子，尤其当某个因子$p$满足$p-1$是“光滑”的（即$p-1$的所有素因子都较小）。该算法基于Fermat小定理，通过选择一个界限$B$来构建一个累积指数，然后利用模运算和最大公约数（gcd）计算来发现因子。下面我将逐步详解其原理、步骤、优化和实现。

1. 算法背景和核心思想

• 问题背景：给定一个大整数$n$（通常是合数），目标是找到一个非平凡因子$p$（即$1 < p < n$且$p \mid n$）。
• 核心思想：如果$n$有一个素因子$p$，且$p-1$是$B$-光滑的（即$p-1$的所有素因子都小于或等于界限$B$），那么通过构造一个指数$M$（它是所有素数$q \leq B$的乘积），可以确保$p-1$整除$M$。根据Fermat小定理： $$ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \quad \text{（如果$p$是素数且$a$不被$p$整除）} $$ 因此，如果$p-1 \mid M$，则$a^M \equiv 1 \pmod{p}$。这意味着$a^M - 1$是$p$的倍数，从而计算$\gcd(a^M - 1, n)$可能得到$p$或一个更大的因子。
• 关键优势：算法不需要知道$p$本身，只依赖于$p-1$的光滑性。这使得它在某些情况下比试除法或通用数域筛法更高效。

2. 数学原理详解

算法的有效性建立在以下数学基础上：

• Fermat小定理的应用：设$p$是$n$的一个素因子。如果$p-1$整除$M$（即$M = k(p-1)$ for some integer $k$），则： $$ a^M \equiv (a^{p-1})^k \equiv 1^k \equiv