最大子序列和·动态规划分析

最大子序列和·动态规划分析

题目

给定序列{A1,A2,A3,...,AN}\{A_1,A_2,A_3,...,A_N\}{A1​,A2​,A3​,...,AN​}，求该序列的最大子序列和对应的序列

分析

以下将最大子序列和对应的序列简称为最大子序列

设D[N]是序列的最大子序列，设d[N]是序列中必须含有$A_N$并以$A_N$结尾的最大子序列

例：{-1，3，4，-2，7，-20}。D[4]={3, 4}，d[4]={3，4，-2}

由D[N]是否含有$A_N$可得
$$\{\begin{array}{ll}D[N]=d[N],& A_N\ge 0（此时D[N]含有A_N)\\ D[N]=D[N-1],& A_N<0（此时D[N]不含有A_N)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
（1）式可化简为（2）
$$D[N]=Max(D[N-1],d[N])\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中Max()是比较两个序列的和并返回最大序列和对应序列的方程

d[N]分析

d[N]是以$A_N$结尾的最大子序列，若d[N-1]的序列和为负数则d[N-1]不可能为d[N]的一部分，由此可得
{d[N]={d[N−1],AN},Sum(d[N−1])≥0d[N]=AN,Sum(d[N−1])<0(3) \left \{ \begin{array}{ll} d[N]=\{d[N-1],A_N\},&Sum(d[N-1])\ge 0 \\ d[N]=A_N,&Sum(d[N-1])< 0 \end{array} \right. \tag 3 {d[N]={d[N−1],AN​},d[N]=AN​,​Sum(d[N−1])≥0Sum(d[N−1])<0​(3)
其中Sum()为计算序列和的函数

（3）式可化简为（4）
d[N]=Max(AN,{d[N−1],AN})(4) d[N]=Max(A_N,\{d[N-1],A_N\}) \tag 4 d[N]=Max(AN​,{d[N−1],AN​})(4)
结合（2）（4）可得
D[N]=Max(D[N−1],Max(AN,{d[N−1],AN}))(5) D[N]=Max(D[N-1],Max(A_N,\{d[N-1],A_N\})) \tag 5 D[N]=Max(D[N−1],Max(AN​,{d[N−1],AN​}))(5)
此时状态D[N]只与上一级状态D[N-1]，d[N-1]，本级参数$A_N$相关，所以（5）是最大子序列的状态转移方程

有了状态转移方程再去编写实现代码就是很简单的事了