矩阵中左上角到右下角的所有路径（leetcode 62）

1、题目描述

    给定一个 m x n 的矩阵，从这个矩阵的左上角到右下角总共有多少唯一的路径？ 

2、解题思路

（1）暴力法（回溯法）

    使用递归的方法来做，代码如下：

void FindUniquePaths(int m, int n, int i, int j, int &sum)
{
    if (i == m || j == n)
    {
        return ;
    }
    if (i == m - 1 && j == n - 1)
    {
        sum ++;
    }
    else
    {
        FindUniquePaths(m, n, i + 1, j, sum);
        FindUniquePaths(m, n, i, j + 1, sum);
    }
}

int UniquePaths(int m, int n) {
    int sum = 0;
    FindUniquePaths(m, n, 0, 0, sum);
    return sum;
}

（2）动态规划

    使用一个 m x n 的数组 path，其中 path[ i ] [ j ] 表示从 [ 0 ] [ 0 ] 点到 [ i ] [ j ] 的路径数，则有 path[ 0 ] [ 0 ] = 1, path[ i ] [ j ] = path[ i - 1 ] [ j ] +  path[ i ] [ j - 1 ]。代码如下：

int UniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> path(m, vector<int>(n, 0));
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            int left = 0;
            if (j > 0)
            {
                left = path[i][j - 1];
            }
            int up = 0;
            if (i > 0)
            {
                up = path[i - 1][j];
            }
            if (i == 0 && j == 0)
            {
                path[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                path[i][j] = left + up;
            }     
        }
    }
    return path[m - 1][n - 1];
}