Lyn_S的博客

内积两个向量 x1\bm{x_1}x1​ and x2\bm{x_2}x2​ 的内积定义为⟨x1,x2⟩=x1⊤x2=∑ix1[i]x1[2]\langle\bm{x_1,x_2}\rangle=\bm{x}_1^\top\bm{x_2} =\sum_i \bm{x_1}[i]\bm{x_1}[2]⟨x1​,x2​⟩=x1⊤​x2​=i∑​x1​[i]x1​[2]从几何的角度想，向量的内积表征的是一种空间结构，只与两个向量的长度和夹角有关:⟨x1,x2⟩=∥x1∥∗∥x2∥∗cos⁡θ\langle

本文讲解一下函数 smoothness 和 convexity 的基本定义，等价定义，和性质。

Wirtinger derivative: 令 z=x+jyz=x+jyz=x+jy，则 f(z)f(z)f(z) 对 zzz 和 zzz 的共轭 z∗z^*z∗ 求导结果为∂∂z=12(∂∂x−i∂∂y)\frac{\partial}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y} \right)∂z∂​=21​(∂x∂​−i∂y∂​)∂∂z∗=12(∂∂x+i∂∂y)\frac

BasicsDef 1: Stochastic process 随机过程一个随机过程 X={X(t):t∈T}\bm{X}=\{X(t):t\in \bm{T}\}X={X(t):t∈T} 是一个随机过程的集合。ttt 可以是连续的也可以是离散的。如果 T\bm{T}T 是 countably infinite, 我们可以把 X\bm{X}X 称为一个离散时间序列，这时候我们可以取 t=0,1,2,3,...t=0,1,2,3,...t=0,1,2,3,....Reamrk: 随机过程就是一堆随机变量

本讲我们研究另一篇著名的paper: compute-and-forward.

这一节我们主要讲一下Lattice在通信中的应用。AWGN Channel Coding首先这篇paper来自 Uri Erez & Ram Zamir 2004年的经典论文 “Achieving 12log⁡(1+SNR)\frac{1}{2}\log (1+ \text{SNR})21​log(1+SNR) on the AWGN channel with lattice encoding and decoding”. 本文证明了使用 lattice code可以achieve Gaussi

Packing, Covering, Quantization, Modulation再讲了大一堆概念之后，我们终于可以开始来看看 lattice 的一些性质了。其实lattice有很好的几何含义，因此实际上关于 lattice的概念和性质都还是很好理解的。首先一个问题就是 packing。还记得第一讲中的 nnn 维球 Br\mathcal{B}_rBr​ 么，我们首先研究怎么用lattice来pack balls。为了方便叙述，我们进一步定义Unit-radius ball 的 Volume:

本文 largely based on Prof. Kschischang 和 Chen Feng 2014 年给的 tutorial。原 tutorial 的标题是 “An Introduction to Lattices and their Applications in Communications”. Slide 在网上可以下载到。Lattice 基础Notations我们将使用的一些符号：R,C\mathbb{R,C}R,C: 实数域和复数域。所谓域 (field) 是指一种可进行加减乘除

多个变量的函数比如, w=f(x,y)w=f(x,y)w=f(x,y)是三维空间中的曲面, w=f(x,y,z)w=f(x,y,z)w=f(x,y,z)是四维空间中的曲面.对于定义域是平面的函数 f(x,y)f(x,y)f(x,y), 我们定义 等高线(level curve, contour curve) f(x,y)=kf(x,y)=kf(x,y)=k 为二维曲线, 可以由 w=kw=kw=k 得到, 其中 kkk 是一个常数.对于定义域是三维的函数f(x,y,z)f(x,y,z)f(x,y,z

给定一个随机变量XXX满足某种分布, 我们可以通过sample它得到其mean or variance. 假设sample了NNN个点, 那sample meanX‾=1N∑n=1NXn\overline{X}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N X_nX=N1​n=1∑N​Xn​随着NNN的增加,X‾\overline{X}X应该越来越趋近于真实的mean E[X]\mathbb{E}[X]E[X] 最终相等. 但是simulation results indicate otherwise

这里简单说一下拉格朗日乘子法的原理和insight.等式约束拉格朗日乘子法主要是用于解决有约束的优化问题. 比如最基本的等式约束max⁡f(x,y)s.t.,g(x,y)=0\max f(x,y) \\ s.t., g(x,y)=0maxf(x,y)s.t.,g(x,y)=0我们想求f(x,y)f(x,y)f(x,y)的最大值,本身这个三维函数是定义在实平面上的, 他有自己的极值和最值. 但是加上了约束之后,我们就不能在整个实平面上找极值最值了, 我们得在g(x,y)=0g(x,y)=0g(x,y)

一个圆周的长度是 2πr2\pi r2πr, 总共 360360360 度。我们把长度为半径 rrr 的圆周对应的角度称为 111 rad, 这样一个圆周就有 2π2\pi2π rad. 比如 sin⁡x\sin xsinx 函数就是把角度(rad)的正弦值按照rad展开得到的曲线.极限。一个函数在某点的极限存在 等价于 函数在该点的左极限和右极限均存在且相等，即 lim⁡x→a−f(x...