【机器学习】Softmax Regression算法原理与java实现

Logistic Regression算法是线性二分类算法，Softmax Regression算法是Logistic Regression算法在多分类问题上的推广，其中任意两个类别的样本是线性可分的（参考资料1）。

1、Softmax Regression算法原理

1.1、样本概率

假设样本 { x 1 , x 2 , ⋯   , x n } \left\{ { {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}} \right\} { x1​,x2​,⋯,xn​}的个数为$n$，样本特征个数为$m$，样本标签类别为$j$。为了使样本映射到$j$个类别中，则权重矩阵（$W=\left[w_1,w_2,\cdots ,w_j\right]$）的维度为$m\times j$。
样本$x_i$属于类别 k （ k ∈ { 0 , 1 , ⋯   , j − 1 } ） k（k \in \left\{ {0,1, \cdots ,j - 1} \right\}） k（k∈{ 0,1,⋯,j−1}）的概率为：

$p\left(y_i=k|x_i;W\right)=\frac{e^{w_k^T{x}_i}}{\sum _{l=1}^j{e}^{w_l^T{x}_i}}$

将样本属于所有类别的概率合并后样本的概率为：
p ( y i ∣ x i ; W ) = ∏ l = 1 k ( e w k T x i ∑ l = 1 j e w l T x i ) I { y i = l } p\left( { {y_i}\left| { {x_i};W} \right.} \right) = \prod\limits_{l = 1}^k { { {\left( {\frac{ { {e^{w_k^T{x_i}}}}}{ {\sum\limits_{l = 1}^j { {e^{w_l^T{x_i}}}} }}} \right)}^{I\left\{ { {y_i} = l} \right\}}}} p(yi​∣xi​;W)=l=1∏k​⎝⎛​l=1∑j​ewlT​xi​ewkT​xi​​⎠⎞​I{ yi​=l}

其中，当样本$x_i$属于类别$l$时 I { y i = l } = 1 {I\left\{ { {y_i} = l} \right\}}=1 I{ yi​=l}=1，否则 I { y i = l } = 0 {I\left\{ { {y_i} = l} \right\}}=0 I{ yi​=l}=0。

1.2、损失函数

如本人之前博文中描述的那样，基于概率的机器学习算法的损失函数为负的log似然函数。
似然函数如下：

$L_W=\underset{i=1}{}$