高等数学基础_黎曼和-优快云博客

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1.定积分

定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数在某个区间上的累积效应或面积。

1.定义

定积分

$\int _{a}^{b}f(x) dx$

表示函数 f(x)在区间 [a,b]上的累积效应或面积。定积分的定义可以通过以下步骤来理解：

大化小

将区间 $[a,b]$ 分割成 n 个小区间，每个小区间的长度为 $\Delta x_{i}$ ，其中 $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ ，且 $x_{0}=a,x_{n}=b$

2.常代变

在每个小区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 内取一个样本点 $\xi _{i}$

3.近似和

构造黎曼和

$\sum_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$

表示函数 f(x) 在区间 [a,b]上的近似累积效应或面积。

4.求极限

当分割的区间数 n 趋向于无穷大，且每个小区间的长度 $\Delta x_{i}$ 趋向于零时黎曼和的极限即为定积分：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{i=1}^{n}f(\xi {i})\Delta x_{i}$

说明：

黎曼和是通过将区间 [a,b]分成 n 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为 $\Delta x_{i}=\frac{b-a}{n}$ ，然后选择每个子区间内的一点 xi，计算矩形的面积之和来近似积分的。

黎曼和可以表示为：

$S_{n}=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}$

其中：

$S_{n}$ 是黎曼和的值。
n是子区间的数量。
$x_{i}$ 是第 i个子区间 $[x_{i-1},x_{i}]$ 内的一点。
$\Delta x_{i}$ 是每个子区间的宽度。

2.几何意义

定积分 $\int _{a}^{b}f(x) dx$ 的几何意义是函数 $f(x)$ 在区间 $\left [ a,b \right ]$ 上的曲线下面积。具体来说：

如果 $f(x)\geq 0$ ，则定积分表示曲线下方的面积。
如果 $f(x)\leq 0$ ，则定积分表示曲线上方的面积的负值。

3.性质

定积分具有以下重要性质

1.线性性质：

$\int_{a}^{b}\left [ cf(x)+dg(x) \right ]dx = c\int_{a}^{b}f(x)dx + d\int_{a}^{b}g(x)dx$

其中c和d是常数

2.区间可加性：

$\int _{a}^{b}f(x) dx = \int _{a}^{c}f(x) dx+\int _{c}^{b}f(x) dx$

其中 $a\leq c\leq b$

3.积分上下限交换：

$\int _{a}^{b}f(x) dx =- \int _{b}^{a}f(x) dx$

4.定积分中值定理：

如果函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c∈[a,b]，使得：

$\int _{a}^{b}f(x) dx = f(c)(b-a)$

证明：

设f(x)在[a,b]上连续，因为闭区间上连续函数必有最大最小值，不妨设最大值为M，最小值为m，最大值和最小值可相等。

对

$m\leq f(x)\leq M$

两边同时积分可得：

$m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)$

同除以b-a从而得到：

$m\leq \dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx\leq M$

由连续函数的介值定理可知，必定

$\exists c\in [a,b]$

使得

$f(c)=\dfrac{1}{(b-a)}\int _{a}^{b}f(x)dx$

，即：

$\int _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a),\exists c\in [a,b]$

4.微积分基本公式

微积分基本定理分为两部分，分别描述了积分上限函数的性质和定积分的基本公式。

第一部分：

如果 f(t) 在区间 [a,b]上连续，则积分上限函数

$F(x)=\int_{a}^{x}f(t) dt$

在区间 [a,b] 上可导，并且其导数为：

$F_{}'(x)=f(x)$

第一基本定理表明不定积分是微分的逆运算，保证了某连续函数的原函数的存在性

第二部分：

如果 F(x)是 f(x)的一个原函数，即 F′(x)=f(x)，则：

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

第二基本定理则提供了定积分和不定积分之间的联系，使得定积分的计算变得简便。

5.定积分换元法

1. 选择合适的变量替换：
选择一个合适的变量替换 t=g(x)，使得积分变得更简单，并求反函数：

$x=g^{-1}(t)=h(t)$

2. 求导数：
对 x 的导数

$dx=h'(t)dt$

3. 替换积分变量：
将原积分中的 x 替换为 t，并将 dx 替换为

$h'(t)dt$

4. 确定新的积分上下限：
将原积分的上下限 a 和 b 替换为新的上下限 t 的值。即 t 的下限为 t1，上限为 t2。

5. 求解新积分：
求解新的定积分

$\int_{t1}^{t2}f(h(t)) h'(t)dt$

2.多元函数

1.二元极限

1.定义

设函数 f(x,y) 在点 (a,b) 的某个去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 ϵ，总存在正数 δ，使得当

$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}< \delta$

时，总有：

$\left | f(x,y)-L \right |< \varepsilon$

则称 L 为函数 f(x,y)在点 (a,b)处的极限，记作：

$\lim_{(x,y)\rightarrow (a,b)}f(x,y)=L$

2.几何意义

当点 (x,y)从任意方式趋近于点 (a,b) 时，函数 f(x,y) 的值趋近于 L。换句话说，函数图像在二维平面的点 (a,b)附近趋近于一个三维立体平面上的点 (a,b,L)。可将(a,b)想象为(a,b,L)投影在二维平面的点。

如果 (x,y)从不同方式趋近于点 (a,b)，函数 f(x,y) 的值不相等，则表示 f(x,y) 不存在。

2.偏导数

‌偏导数是‌多元函数求导的一种形式，表示在多个自变量中，当其中一个自变量改变而其他自变量保持不变时函数值的变化率。

这实质上是将其他自变量视为常数，然后按照单变量函数求导的方法进行运算。‌

1.定义

设函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 的某个邻域内有定义。如果极限：

$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})}{\Delta x}$

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 处对 x 的偏导数，记作：

$\frac{\partial f}{\partial x}|(x_{0},y_{0})$ 或 $f{}'_{x}(x_{0},y_{0})$

类似地，如果极限：

$\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_{0},y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})}{\Delta y}$

存在，则称此极限为函数 f(x,y)在点 (x0,y0)处对 y的偏导数，记作：

$\frac{\partial f}{\partial y}|(x_{0},y_{0})$ 或 $f{}'_{y}(x_{0},y_{0})$

2‌.偏导数的计算方法‌

对于二元函数z=f(x,y)，求z对x的偏导数时，将y看作常量，对x求导；求z对y的偏导数时，将x看作常量，对y求导。

3.全微分

1.定义

如果函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

可以表示为

$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$

其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x, y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)²+(Δy)²])，此时称函数z=f(x, y)在点(x, y)处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。

2.可微的必要条件

若z=f(x,y)在(x,y)点处可微，则偏导数

$f_{x}'(x,y)$ 和 $f_{y}'(x,y)$

存在，并且

$dz=f_{x}'(x,y)\Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$ 或 $dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)dy$

3.可微的充分条件

z=f(x,y)在(x,y)的某个邻域内有连续的偏导数

$f_{x}'(x,y)$ 和 $f_{y}'(x,y)$

则在(x,y)处可微，

$dz=f_{x}'(x,y)\Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$ 或 $dz=f_{x}'(x,y)dx+f_{y}'(x,y)dy$

4.近似计算

z=f(x, y)在点(x, y)处的全增量为

$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

全微分为

$dz=f_{x}'(x,y)\Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$

在计算中我们通常使

$\Delta z\approx dz$

所以

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\approx f_{x}'(x,y)\Delta x+f_{y}'(x,y)\Delta y$

即：

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f_{x}'(x,y)\Delta x+x f_{y}'(x,y)\Delta y$

上述公式即为近似计算公式。

4.梯度

梯度是一个向量，表示多元函数在某一点处的最大变化率和变化方向。

1.定义

设 f(x1,x2,…,xn)是一个定义在 Rn(n维欧几里得空间) 上的多元函数，函数 f在n维向量点 a=(a1,a2,…,an)处的梯度定义为：

其中，

$\frac{\partial f}{x_{i}}(a)$

是函数 f 在点 a 处对第 i 个自变量的偏导数。

2.性质

最大变化率：梯度 ∇f(a) 的方向是函数 f在点 a 处变化率最大的方向。
变化率：梯度 ∇f(a) 的大小（模）是函数 f 在点 a 处沿梯度方向的变化率。

沿梯度方向是是函数 f在点 a 处变化率增加最大的方向；沿梯度反方向是是函数 f在点 a 处变化率减小最大的方向；沿梯度垂直方向函数 f在点 a 处变化率为0。

5.梯度下降

梯度下降是一种优化算法，用于寻找多元函数的最小值。其基本思想是沿着函数的负梯度方向逐步更新参数，以减少函数值。

算法步骤

初始化：选择一个初始点 x0。
迭代更新：对于每次迭代 k，计算当前点的梯度

并更新参数：

其中，η 是学习率（步长），控制每次更新的步幅。

终止条件：当梯度的模足够小或达到预设的迭代次数时，停止迭代。通常，终止条件可以是以下几种：
1. 梯度的模足够小：当梯度的模（或范数）
  
  小于某个阈值时，停止迭代。
  
  说明：
  
  梯度的范数表示梯度向量的大小，即梯度向量的长度。
  
  梯度的范数（模） ∥∇f(xk)∥是这个向量的欧几里得长度，定义为：
2. 达到预设的迭代次数：当迭代次数达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。
3. 函数值变化足够小：当函数值的变化
  
  小于某个阈值时，停止迭代。