青蛙跳台阶算法解析-优快云博客

问题一: 一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

思路：
1）一级台阶的时候有一种跳法，两级台阶的时候则有两种跳法，
2) n级台阶的时候,则有两种可能，一种是跳一级，然后剩下的有f（n-1）种跳法，或者跳两级，剩下的有f（n-2）种跳法
3）由以上思路我们很快就能够联想到递归，但是这道题用递归的话，空间复杂度太高。事实上这是一道斐波那契数列类似的题
（ps.提醒自己用的：猪脑袋，记住了，斐波那契数列输出最后一个结果的话，用三个变量就行了，别再用递归了）

public class Solution {
    //斐波那契数列数列问题
    /*
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target<1)
            return 0;
        else if(target==1)
            return 1;
        else if(target==2)
            return 2;
        else
            return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
    }
    */
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target<3)
            return target;
        int s=0;
        int f1=1,f2=2;
        for(int i=2;i<target;i++){
            s=f1+f2;
            f1=f2;
            f2=s;
        }
        return s;
    }
}

问题二：
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/22243d016f6b47f2a6928b4313c85387
来源：牛客网

关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:

f(1) = 1

f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。

f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)

…

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + … + f(n-(n-1)) + f(n-n)

说明：

1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,…n阶的跳法数。

2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1

3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1），f(2) = f(2-1) + f(2-2)

4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，

那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)

因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)

5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶…n阶，得出结论：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)

6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：

f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)

f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)

可以得出：

f(n) = 2*f(n-1)

7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、…n阶的跳的方式时，总得跳法为：

           | 1        ,(n=0 ) 
f(n) =     | 1        ,(n=1 )
           | 2*f(n-1) ,(n>=2)

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target<1)
            return 0;
        else if(target==1)
            return 1;
        else{
            return 2*JumpFloorII(target-1);
        }
    }
}