codeforces round 514div2C Sequence Transformation（思维+找规律）

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Link_Ray/article/details/83212203

本文探讨了一种算法问题，即如何在给定序列中通过特定操作得到字典序最大的GCD序列。文章提供了两种解题思路：一种是通过观察规律的“乱搞”解法，另一种是更为系统和规范的解法。文中详细解释了两种方法的实现逻辑，并附带了C++代码示例。

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题意

给出一个长度为 $n$ 的序列，初始序列为 $1,2,3,…,n1,2,3,\dots,n$ ，每次计算出当前序列的 $G C D$ 并输出，然后可以任意删除序列中的一个数，重复前面操作，直到整个序列为空。要求输出的 $G C D$ 序列字典序最大。

乱搞题解

很明显最后的GCD序列长度是 $n$ ，通过手算几个样例我发现了当 $n > 3$ 时一个规律，输出的GCD都是 $2^i$ ，每4个 $2^i$ 出现的次数是 $\frac{n-2^i}{2^{i+1}}+1$ ，当 $i = = 0$ 且 $n$ 为奇数时， $c n t + 1$ 其余的时候可以当做 $n - 1$ 处理。但这个需要特殊处理一下最后一次的GCD，最后的数字是 $n/last(2^i)*last(2^i)$ ， $last(2^i)$ 代表的是在 $n - 1$ 处出现的 $2^i$ 。

正规题解

可以发现一开始需要删除掉全是奇数的数字 $c n t$ 个，输出 $c n t$ 个1，之后剩下的都是 $2,4,6,8,…2,4,6,8,\dots$ 的序列，这相当于 $1,2,3,4,…1,2,3,4,\dots$ 乘一个2，所以问题还是和前面一样，删除下标为奇数的数字 $c n t$ 个，然后输出最前面的那个数字 $c n t$ 个。
然后不断将问题缩小，当 $\leq 3$ 时要特殊处理一下。

乱搞代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int a,int b) {
	return b == 0 ? a: gcd(b,a%b);
}
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	int cnt = 0;
	if(n <= 3) {
		if(n == 3)
			cout <<"1 1 3" << endl;
		if(n == 2)
			cout << "1 2" << endl;
		if(n == 1)
			cout << 1 << endl;
		return 0;
	}
	int last;
	int sum = 0;
	int p = 1;
	sum++;
	cout << p << " ";
	last = p;
	int f = 2;
	int t = n;
	while((n-p)/f > 0) {
		int cnt = (n-p)/f;
		if(n&1) n--;
		for(int i = 0; i < cnt; ++i)
			cout << p <<" ";
		sum += cnt;
		last = p;
		p *= 2; f *= 2;
		if(sum < t-1) {
			sum++;
			cout << p <<" ";
			last = p;
		}
	}
	cout << n/last*last << endl;
	return 0;
}

正规代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn = 1e6 + 6;

int seq[maxn];
int ans[maxn];
int ptr = 0;

void solve(int n, int mul){
	if(n == 1){ans[ptr++] = mul; return;}
	if(n == 2){ans[ptr++] = mul; ans[ptr++] = mul * 2; return;}
	if(n == 3){ans[ptr++] = mul; ans[ptr++] = mul; ans[ptr++] = mul * 3; return;}
	for(int i = 0; i < n; i++)if(seq[i]&1)ans[ptr++] = mul;
	for(int i = 0; i < n/2; i++)seq[i] = seq[2*i + 1]/2;
	solve(n/2, mul * 2);
}

int main(){
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++)seq[i] = i + 1;
	solve(n, 1);
	for(int i = 0; i < n; i++)printf("%d ", ans[i]);
	return 0;
}