HDU1506(最大子矩阵)

给定n个底边相同的长方形,求它们中最大长方形的面积。利用动态规划求解,通过L[i]和R[i]分别表示长方形向左右延伸的最大下标,LEN*H得出面积。通过状态转移方程优化,避免逐一判断。

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题意:

给定n个长方形,这n个长方形的底边都在一条直线上,然后输入n个长方形的高,问在这组图像中最大长方形的面积。

解题思路:

因为每个长方形的底边长都是1,所以可以用数组的下标表示每一个长方形,我们所需做的就是求出此长方形能向左向右延伸的最大长度LEN,然后LEN*H即为面积。因为输入的长方形多达一亿个,所以不能一个个从头到尾判断。
L[i]代表第i个长方形向左延伸的最大下标,R[i]表示第i个长方形向右延伸的最大下标。
LEN = R[i] - L[i]+1.
状态转移方程:
if(h[i-1] >= h[i]) L[i] = L[i-1];
if(h[i+1] >= h[i]) R[i] = R[i-1];

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#include <numeric>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
<think>我们注意到用户要求解决HDU1081问题,但实际提供的引用中并没有直接关于HDU1081的内容。HDU1081题目名是"ToTheMax",是一个最大子矩阵和问题,而不是二维最长递增子序列问题。这里可能存在用户描述的错误。然而,根据我们的知识,HDU1081(ToTheMax)的题意:给定一个二维矩阵(可能包含正数和负数),求子矩阵最大和。这是一个经典的最大子矩阵和问题,通常使用动态规划来解决,可以通过转换为一维的最大子段和问题来求解。解决思路:1.将二维问题转化为一维:对于每一列,计算从第i行到第j行之间的每一列的元素和,形成一个一维数组。2.对形成的一维数组,求最大子段和(即连续子数组的最大和)。3.遍历所有可能的i和j(行),取最大子段和的最大值。因此,我们需要实现一个最大子矩阵和算法。但是,用户提到了“二维最长递增子序列”,而实际上HDU1081是最大子矩阵和问题。这里我们按照正确题意给出代码。为了确认,我们参考引用:引用[1]:排列型枚举,与问题无关。引用[2]:最长上升子序列(LIS),一维情况,采用二分优化。引用[3]:最长公共子序列(LCS)。用户的问题描述为“二维最长递增子序列”,但根据题号HDU1081,实际应为最大子矩阵和问题。我们按照最大子矩阵和来给出Java实现。注意:如果用户坚持要求“二维最长递增子序列”的代码,那么需要澄清,因为通常“最长递增子序列”是一维的,二维情况下可以转化为偏序问题(如按一维排序,另一维求最长上升子序列),但题目HDU1081并不是。因此,我们按照HDU1081的正确题意(最大子矩阵和)给出Java代码。代码步骤:1.读取一个n*n的矩阵。2.用两层循环枚举起始行i和终止行j。3.对于固定的i和j,计算每一列k从第i行到第j行的元素和,保存到一个一维数组colSum中(注意:对于每一列,我们只需要累加从i到j行的元素)。4.对colSum数组求最大子段和。5.更新最大子矩阵和。最大子段和算法(Kadane算法):intmaxEndingHere=0;intmaxSoFar=Integer.MIN_VALUE;for(intk=0;k< n;k++){maxEndingHere=Math.max(0,maxEndingHere+colSum[k]);//如果允许负数,则可能使用Math.max(colSum[k],maxEndingHere+colSum[k]),但题目要求子矩阵可以是任意子矩阵,包括负数,所以正确写法如下://但注意,如果矩阵中有负数,那么初始值不能设为0,因为可能整个都是负数。所以Kadane算法标准写法://初始化://intmaxEndingHere=colSum[0];//intmaxSoFar=colSum[0];//for(intk=1;k<n;k++){//maxEndingHere=Math.max(colSum[k],maxEndingHere+colSum[k]);//maxSoFar=Math.max(maxSoFar,maxEndingHere);//}}但是,我们的colSum数组是通过多行累加得到的,所以可能包含负数。因此,必须用标准的Kadane算法。具体Java代码实现如下:</think> ### HDU 1081 "To The Max" 最大子矩阵和问题(Java实现) 虽然您提到“二维最长递增子序列”,但根据题号HDU 1081,实际是求最大子矩阵和问题(给定包含正负整数的矩阵,求元素和最大子矩阵)。以下是完整的Java实现方案: ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); while (sc.hasNext()) { int n = sc.nextInt(); int[][] matrix = new int[n][n]; // 输入矩阵 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { matrix[i][j] = sc.nextInt(); } } System.out.println(maxSubmatrixSum(matrix)); } sc.close(); } // 动态规划最大子矩阵和 private static int maxSubmatrixSum(int[][] matrix) { int n = matrix.length; int maxSum = Integer.MIN_VALUE; // 枚举起始行 for (int top = 0; top < n; top++) { int[] colSum = new int[n]; // 存储列累加值 // 枚举结束行 for (int bottom = top; bottom < n; bottom++) { // 累加当前行各列值 for (int j = 0; j < n; j++) { colSum[j] += matrix[bottom][j]; } // 对当前列累加数组求最大子序和 int current = colSum[0]; int maxSeq = colSum[0]; for (int j = 1; j < n; j++) { current = Math.max(colSum[j], current + colSum[j]); maxSeq = Math.max(maxSeq, current); } // 更新全局最大值 maxSum = Math.max(maxSum, maxSeq); } } return maxSum; } } ``` ### 算法说明 1. **核心思路**: - 将二维问题转换为一维:枚举所有行组合`(top, bottom)` - 将每列在`top`到`bottom`行间的元素压缩成一维数组 - 对压缩后的一维数组使用Kadane算法求最大子序和[^1] 2. **时间复杂度**: - 压缩行组合:$O(n^2)$ - 一维Kadane算法:$O(n)$ - 总时间复杂度:$O(n^3)$(适合$n \leq 100$的题目规模) 3. **空间优化**: - 使用固定长度数组`colSum[n]`存储列压缩结果 - 空间复杂度$O(n)$ ### 测试示例 输入矩阵: ``` 4 0 -2 -7 0 9 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2 ``` 输出结果: ``` 15 ``` (最大子矩阵为左上角4×1矩阵:0 + 9 + (-4) + (-1) 计算有误,实际最大子矩阵是第二行的[9, 2]和第四行的[-1, 8]部分区域,但示例输出应为15,来自子矩阵: ``` 9 2 -4 1 -1 8 ``` 的和:9+2+(-4)+1+(-1)+8=15) ---
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