poj 3237 Tree 题解(树链剖分，线段树)

最新推荐文章于 2019-09-20 13:28:35 发布

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博客详细介绍了如何使用树链剖分和线段树解决poj 3237题目，涉及树上操作包括边权的相反数操作、单边修改和路径最长边查询。通过序列上的线段树做法过渡到树上，解释了如何将边权转换为点权进行处理，并避免在查询时遗漏LCA节点。

原题链接：
poj

题意简述

多组数据。给定一个树，带边权，要支持三种操作，分别是：

两个节点之间的路径的边权全部 $\times -1$ ，即取相反数
单边修改边权值
求两个节点之间路径上的最长边

数据

输入

第一行一个 $t$ ，表示有 $t$ 组数据。对于每一个数据，先有一个 $n$ ，表示点数。然后 $n - 1$ 行，每行两个数 $a, b, c$ 表示 $a, b$ 之间有一个边，权值为 $c$ 。接下来是一些询问，先有一个字符串，如果是：

“ $N E G A T E$ ” 后跟两个数 $a, b$ ，表示 $a, b$ 进行操作 $1$
“ $C H A N G E$ ” 后跟两个数 $i, w$ ，表示将输入的第 $i$ 条边权改为 $w$
“ $Q U E R Y$ ” 后跟两个数，表示 $a, b$ 进行操作 $3$

输出

对于每个操作三（即 $Q U E R Y 形式给出的操作$ ），输出答案

样例

输入
1

3
1 2 1
2 3 2
QUERY 1 2
CHANGE 1 3
QUERY 1 2
DONE
输出
1
3

思路

这显然是个树剖。做树剖的题，要先知道一个事情：

这个题放到链上怎么做。

然后用分块打到树上即珂。珂是，这个题放到链上怎么做呢？

part 1. 序列上做法

线段树。显然，维护最大值是好维护的，当然单点修改也能改。关键就是这个取相反数。如果一个区间整个取了相反数，那么你会发现：整个乘了 $- 1$ 后，最大值和最小值互换了。
举个栗子：

原区间： ${1,-10,2,9\}$

最大：9 最小：-10

取相反数： ${-1,10,2,-9\}$

最大：10 最小：-9

是不是茅塞顿开！（我这个蒟蒻没想到这一点，爆肝调到 $11:30\ p.m.$ 才搞出来。。。）
所以链上会做了，就是放到树上的问题了。

part 2.放到树上

我们发现，树链剖分都是对点权进行操作的，那么，边权呢？
会发现，每一个边都连接着一对父子。如果我们把边权，丢到这个边的儿子上，会发现：

每个儿子唯一对应一个边（根除外，根不对应边）

所以，我们就考虑用儿子的点权表示边权。但是注意，在取答案和修改的时候，要做出一些改动。举个栗子：（我们的树长这样）
blog1.png
然后我们要对点 $3, 5$ 进行查询操作。我们把每个边以（蓝色标出）及对应的点（红色标出）标出来：
blog2.jpg
会发现，边是连接了整条路径没错，但是点。。。好像少了一个点。没错，少了 $L C A$ 那个店。那么我们是不是要把 $L C A$ 也打出来呢？
不不不，别怕，不用。我们只需要在树链剖分的最后一步（即 $u$ 和 $v$ 在同一个链上的单独处理），把原来从 $D F S i d [u]$ 到 $D F S i d [v]$ 换成 $D F S i d [s o n [u]]$ 到 $D F S i d [v]$ 即珂。因为此时我们设 $u$ 是上面（即深度更小）的那个，所以此时 $u$ 就是 $L C A$ ，然后我们只要不取 $u$ ，就完美的解决了这个问题。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet
{
    #define N 10100
    class Graph//图
    {
        public:
            int head[N];
            int EdgeCount;
            struct Edge
            {
                int To,Label,Next;
            }Ed[N<<1];

            void clear()
            {
                memset(Ed,-1,sizeof(Ed));
                memset(head,-1,sizeof(head));
                EdgeCount=0;
            }
            void AddEdge(int u,int v,int w)
            {
                ++EdgeCount;
                Ed[EdgeCount]=(Edge){v,w,head[u]};
                head[u]=EdgeCount;
            }

            int Start(int u)
            {
                return head[u];
            }
            int To(int u)
            {
                return Ed[u].To;
            }
            int Label(int u)
            {
                return Ed[u].Label;
            }
            int Next(int u)
            {
                return Ed[u].Next;
            }
    }G;void Add(int u,int v,int w){G.AddEdge(u,v,w);G.AddEdge(v,u,w);}

    int n;
    struct node
    {
        int u,v,k;
    }E[N];
    void Input()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int a,b,k;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
            E[i]=(node){a,b,k};
            Add(a,b,1);
        }
    }

    int deep[N],size[N],son[N],fa[N];
    void DFS1(int u,int f)
    {
        deep[u]=deep[f]+1;
        size[u]=1;
        fa[u]=f;

        if (G.Start(u)==-1) return;
        son[u]=-1;int Max=-1;
        for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))
        {
            int v=G.To(i);
            if (v!=f and ~v)
            {
                DFS1(v,u);
                size[u]+=size[v];
                if (size[v]>Max)
                {
                    Max=size[v];
                    son[u]=v;
                }
            }
        }
    }

    int DFSid[N];int cnt=0;
    int top[N];
    void DFS2(int u,int topu)
    {
        DFSid[u]=++cnt;
        top[u]=topu;

        if (son[u]==-1) return;
        DFS2(son[u],topu);
        for(int i=G.Start(u);~i;i=G.Next(i))
        {
            int v=G.To(i);
            if (v!=son[u] and v!=fa[u] and ~v)
            {
                DFS2(v,v);
            }
        }
    }//两遍DFS，模板

    int wt[N];
    class SegmentTree
    {
        public:
            struct node
            {
                int l,r;
                int mx,mn,a;//最大和最小都要求
            }tree[N<<2];
            #define ls index<<1
            #define rs index<<1|1

            #define L tree[index].l
            #define R tree[index].r
            #define Mx tree[index].mx
            #define Mn tree[index].mn
            #define A tree[index].a

            #define lL tree[ls].l
            #define lR tree[ls].r
            #define lMx tree[ls].mx
            #define lMn tree[ls].mn
            #define lA tree[ls].a

            #define rL tree[rs].l
            #define rR tree[rs].r
            #define rMx tree[rs].mx
            #define rMn tree[rs].mn
            #define rA tree[rs].a
            void Update(int index)
            {
                Mx=max(lMx,rMx);
                Mn=min(lMn,rMn);
            }
            void BuildTree(int l,int r,int index)
            {
                L=l,R=r,Mx=Mn=0,A=1;
                if (l==r)
                {
                    Mx=Mn=wt[l];
                    return;
                }
                int mid=(l+r)>>1;
                BuildTree(l,mid,ls);
                BuildTree(mid+1,r,rs);
                Update(index);
            }
            void AddOne(int index)
            {
                A*=-1;
                Mx*=-1;
                Mn*=-1;
                swap(Mx,Mn);//注意这里不能忘了swap
            }
            void PushDown(int index)
            {
                if (A!=1)
                {
                    AddOne(ls);
                    AddOne(rs);
                    A=1;
                }
            }
            void Change(int pos,int x,int index)
            {
                if (pos<L or pos>R) return;
                if (L==R) return (void)(Mx=Mn=x);
                PushDown(index);//虽然是单点，但也要pushdown（自己理解一下哈）
                Change(pos,x,ls);
                Change(pos,x,rs);
                Update(index);
            }
            void Add(int l,int r,int index)
            {
                if (l>R or L>r or l>r) return;
                if (l<=L and R<=r) return AddOne(index);
                PushDown(index);
                Add(l,r,ls);
                Add(l,r,rs);
                Update(index);
            }
            int Query(int l,int r,int index)
            {
                if (l>R or L>r or l>r) return -0x3f3f3f3f;
                if (l<=L and R<=r) return Mx;
                PushDown(index);
                return max(Query(l,r,ls),Query(l,r,rs));
            }
    }T;

    void Build()
    {
        DFS1(1,-1);
        DFS2(1,1);
        for(int i=1;i<n;++i)
        {
            int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].k;
            if (deep[u]>deep[v]) swap(E[i].u,E[i].v),swap(u,v);
            //这里把每一个边都令u是v的父亲
            wt[DFSid[v]]=w;
            //然后用对应关系处理好边的权值
        }
        T.BuildTree(1,n,1);//不要忘了建树
    }

    void PathNega(int u,int v)
    {
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            T.Add(DFSid[top[u]],DFSid[u],1);
            u=fa[top[u]];
        }
        if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);
        if (u!=v)//这个一定要判
        T.Add(DFSid[son[u]]/*记得不能取到u*/,DFSid[v],1);
    }
    void SingleChange(int u,int x)
    {
        T.Change(DFSid[u],x,1);
    }
    int PathQuery(int u,int v)
    {
        int ans=-0x3f3f3f3f;
        while(top[u]!=top[v])
        {
            if (deep[top[u]]<deep[top[v]]) swap(u,v);
            ans=max(ans,T.Query(DFSid[top[u]],DFSid[u],1));
            u=fa[top[u]];
        }
        if (deep[u]>deep[v]) swap(u,v);
        if (u!=v)//同理
        ans=max(ans,T.Query(DFSid[son[u]],DFSid[v],1));
        return ans;
    }

    void Query()
    {
        while(1)
        {
            char s[10];scanf("%s",s);
            if (s[0]=='N')
            {
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                PathNega(u,v);
            }
            if (s[0]=='C')
            {
                int i,w;
                scanf("%d%d",&i,&w);
                SingleChange(E[i].v,w);
            }
            if (s[0]=='Q')
            {
                int u,v;
                scanf("%d%d",&u,&v);
                printf("%d\n",PathQuery(u,v));
            }
            if (s[0]=='D') break;//这个不写。。。233我也不说什么了
        }
    }

    void InitAll()//为了解决poj的毒瘤多组数据
    {
        //variables
        n=0;
        cnt=0;

        //arrays
        //deep[N],size[N],son[N],fa[N]
        //DFSid[N]
        //top[N]
        //wt[N]
        memset(deep,0,sizeof(deep));
        memset(size,0,sizeof(size));
        memset(son,0,sizeof(son));
        memset(fa,0,sizeof(fa));
        memset(DFSid,0,sizeof(DFSid));
        memset(top,0,sizeof(top));
        memset(wt,0,sizeof(wt));

        //classes & structs

        G.clear();
        memset(E,0,sizeof(E));
    }
    void Main()
    {
        if (0)
        {
            freopen("","r",stdin);
            freopen("ans.txt","w",stdout);
            //本地调试用的
        }
        int t;scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            InitAll();
            Input();

            Build();
            Query();
        }
    }
};
int main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}