bzoj 2467 [中山市选2010]生成树 题解

题意简述

定义"五角形圈"为一个长度为$n$的环，每一条边都画一个正五边形，形成的图形。给定$n$，求长度为$n$的环形成的"五角形圈"的生成树有多少种（每个点都是不一样的）？
（如下图是一个$4$条边形成的"五角形圈"）

（bzoj上盗的图）

数据

输入

第一行是一个$T$，表示有$T$组数据
接下来$T$行，每行一个$n(2<=n<=100)$。

输出

$T$行，第$i$行是第$i$次询问的答案。

样例

输入
1
2
输出
40

思路

看到这个题的第一反应：wdnmd中山还有市选？？？

emmm。。。说正事。这个题一看就是一个大组合题。。。应该是有一个公式的，是什么呢？来♂一起推♂公♂式♂。
由于我是个蒟蒻，我一开始想了一个不太正确的思路：我枚举中间那个环上用了多少个边。数着数着，我发现。。。越到后面越不好数，而且还要累加，万一$T$一大。。。珂能就挂了。。。

所以我开始换了一种枚举方法：枚举四周的五边形的情况。现在，我来还原一下我当时的思路轨迹。先把4-五角形圈的那个图画在 桌子（我们学校桌子珂以用铅笔在上面写草稿，虽然破坏公物不好，但为了信息竞赛，不管了） 草稿纸上。

然后我们删掉一些边。由于每个五边形都组成一个环，所以考虑枚举五边形，去删边。从正上方那个开始，顺时针枚举五边形开始删边（如红色箭头所示）。蓝色表示删去的边。

删到第三个，如果我们不考虑最左边那个，删去的边已经形成一个树了。此时我们完成了删$n-1$个的任务，由于$n-1$个五边形每个都有$5$条边（废话），所以每个都有$5$种选择（$5$条边中任选一个删除，即可让前$n-1$个形成树）。到此就是$5^{n-1}$种。
但是，对于最后一个，不是删$1$个就珂以形成树的。似乎。。。要删两个。而且我们会发现，紫色所示的那条边还必须删除，因为剩下$n-1$个五边形让中间的那个环的剩下$n-1$个点联通，如果此时在多连一条边，就变成环了，不满足条件，所以紫色的一定要删。剩下还有$4$种选择（蓝色表示的是其中一种）。如下图所示

然后我们会发现，还没考虑完。题目中说每个点都是不一样的，所以最后剩下的那个五边形是哪个都有珂能，并且都会生成不一样的树。所以还要乘$n$。

这样一总和，答案就是$4n\times 5^{n-1}$。打个快速幂就过了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace Flandle_Scarlet{
	#define mod 2007
	
	int qpow(int a,int b,int m)//a^b%m
	//快速幂
	{
		int r=1;
		while(b)
		{
			if (b&1) r=r*a%m;
			a=a*a%m,b>>=1;
		}
		return r;
	}
	
	void Main()
	{
		int T;scanf("%d\n",&T);
		while(T--)
		{
			int n;
			scanf("%d",&n);
			printf("%d\n",4*n*qpow(5,n-1,mod)%mod);
			//解释过了
		}
	}
}
int main()
{
	Flandle_Scarlet::Main();
	return 0;
}

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