Codeforces 820D 题解

题意简述

定义一个数组的d值为这个数组中|所有数-下标|(两个竖线表示取绝对值，别看差了)的和。比如2 1 3 4的d值就是|2-1|+|1-2|+|3-3|+|4-4|=2。给定一个数组长度为n(n<=1e6)，保证这个数组中有1~n的所有数字。请计算出：滚动(滚动一次a b c d变成b c d a)这个数组多少次使得d最小，一次输出滚动的次数和这个最小的d。
(这叫简述？？？总比嘤文题面好的多吧。。。)

数据

输入：
3
1 2 3
输出：
0 0

输入：
3
2 3 1
输出
0 1

输入：
3
3 2 1
输出：
2 1

思路

想想暴力的做法：不断滚动并求出d值，更新答案，$O(n^2)=O(TLE)$。

按照老套路：如何优化这个暴力使得时间复杂度是$O(AC)$？

Imagine this:如果我们只要求第一次的d值，然后每次$O(1)$或者$O(logn)$转移，那不就$O(AC)$了么！

但是它的转移好像毫无规律。。。等等，是毫无规律么？仔细想想，如果我们现在有$l$个$a[i]$满足$a[i]>i$（除了最后一个，最后一个特判），那么整体滚动后每个$|a[i]-i|$将会$-1$（原因是正的更小了，绝对值也更小了），则总共加起来就是$-l$。当然，那些$a[i]<=i$的(记为$r$个)每个将会使$d$增加$1$（负的更多，绝对值增加），总共加起来就是$+r$。当然，我们珂以直接计算得$r=n-l-1$，即$n-l$再去掉最后一个元素。代码中没有写出$r$，用$n-l-1$代替了。

这样，转移d就是$O(1)$。设最后一个是$x$，则$d=d-l+(n-l-1)+|x-1|-|x-n|$。

那么，如何更新$l$的值呢？

设一个$p$数组，$p[i]$表示原数组在移动了i次之后又多少个$a[i]=i$，则每次滚动后，$l$要减去$p[i]$。特判最后一个（它太特殊了），还是记为$x$(跟上面的$x$是同一个)，如果$x!=1$（在本题中这等价于$x>1$），则$l$应该+1(因为$x$移到了$1$的位置)。注意，$p$数组也要更新，因为在这个$x$回到了开头又重新右移的时候也可能会出现$x=x\text{的下标}$的情况出现。为了考虑到循环，使用取模运算。(即$p[(x-1+i)\%n]++$)。

然后更新答案即可（这个可别忘了！）。最后输出最小的d和滚动多少次。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1001000
#define int long long
using namespace std;

int n,a[N],p[N];

void Input()
{
    scanf("%I64d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%I64d",&a[i]);
    }
}
void Solve()
{
    int l=0,d=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (a[i]>i)
        {
            l++,p[a[i]-i]++;
        }
        d+=abs(a[i]-i);
    }
    int ansd=d,ansi=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
    	//开始转移
        int x=a[n-i+1];//取当前最后一个（不改变原数组）
        d-=l;
        d+=(n-l-1);

        d+=abs(x-1);
        d-=abs(x-n);//为了清楚，分开写

        l-=p[i];
        if (x!=1)
        {
            l++;
            p[(x-1+i)%n]++;
        }
        
        if (d<ansd)//更新答案
        {
            ansd=d;
            ansi=i;
        }
    }
    //解释了好多，代码却很短
    //"也不过如此啊！"你珂能会想
    //这就是思维题的难处
    //实际上这题思维量非常大
    //我看着题解看着代码在学校里面用了几天才真正理解了这个题。。。
    printf("%lld %lld\n",ansd,ansi);
}
main()
{
    Input();
    Solve();
    return 0;
}