libreoj 137 最小瓶颈路 加强版 题解

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题意简述

给定 $n$ 个点 $m$ 条边的无向连通图，边带权。$q$ 次询问，每次问你 $u,v$ 之间的所有路径中，边权最大值最小是多少。

$n\le 7\times 10^4,m\le 10^5,q\le 10^7$

（询问会用种子生成方式给你，具体见原题，不会影响输入时间）

思路

首先跑一遍 Kruskal 最小生成树的重构树，$u,v$ 的最小瓶颈路就是 $u,v$ 的路径最大值。

然后在 Kruskal 中，$u,v$ 路径的最大值，就是第一次 （当然，也是唯一一次）把 $u,v$ 两个点从不连通变成联通的那条边的边权。

那么我们在合并 $u,v$ 的时候，就可以开一个临时的点 $x$ ，把 $u$ 和 $v$ 都接到 $x$ 下面，变成 $x$ 的儿子。然后 $x$ 的点权，就是 $u$ 到 $v$ 的边权。

那这样求生成树之后， $u$ 到 $v$ 的路径最大值，就相当于 $u,v$ 的 L C A LCA