笔记神奇的根号

最新推荐文章于 2023-11-11 14:25:37 发布

原创最新推荐文章于 2023-11-11 14:25:37 发布 · 534 阅读

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这篇笔记首次介绍了在考场上想到的一个有趣的根号算法。针对一道由hlx学长（Fuxey）出的题目，当区间长度超过1e6时，问题变得简单，因为可以找到末尾有6个0的数，从而将复杂度降低到O(1000) * log1000。通过将大区间分解成小区间，实现了问题的解决。

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还是第一次写这样的笔记呢。。。开博客以来出来在写简介，就是在写题解。像这样的笔记还是第一次写。不过大家应该都会那种算法的笔记，除非写的特别好（像BYVoid神仙那样），不然基本上也没啥用。不过，这篇不一样，因为它讲的是一个很有意思的根号算法。不过我估计我应该会一直整理这个的。

根号思路1.

第一个思路是我在考场上想出来的。链接：这个题

当然，我发现大家可能看不了这个题。这里给大家我在这个 $O J$ 上的账号：

用户名：LightningUZ
密码： 123456

但是请不要修改密码，如果修改了请快速改回来。注意，你修改密码是不会影响到我的，顶多就是和老师说一下，换一个账号即可，很简单的。但是会不方便别的同学进行练习，而且以后有比赛了也得再换一个号上来交，很麻烦，浪费时间。

如果您不想交，只想看思路，那好，我贴张图上来：

这个题是hlx学长（清华爷，网名Fuxey）给我们出的。当时他讲题的时候说的正解绝对不是带根号的。但是我考场上就是想到了一个带根号的做法（准确来讲不是带根号吧。。。因为没有控制好平衡）；

当时我先打了一个暴力分。如果 $r - l + 1 < = 1 e 6$ ，就暴力求（ $1 e 6$ 的话 $n l o g n$ 是能过的）。接下来自然就是想超过 $2 e 6$ 怎么写了。但是我们发现，超过 $2 e 6$ 之后并不是让这个问题更复杂了，而是更简单了。因为如果区间长度超过了 $1 e 6$ ，那么肯定会包含一个末尾有 $6$ 个 $0$ 的数，那么对于我们求最小值的问题来说， $0$ 的个数少于 $6$ 个的数就肯定没用了。然后我们最多只要算前三个即可。时间复杂度 $O (1000) * l o g 1000$ 最多了。

然后总体就能过了。也就是说我们把长度为 $1 e 9$ 的区间分解成了 $1 e 6 * 1 e 3$ ，然后两段都是能承受的复杂度。

当然，你要常数小一点，就分配的平均一点即珂。您把它分成 $1 e 5 * 1 e 4$ 也珂以。这样就是标准的 $\sqrt{n}$ 算法了（等等。。。仿佛还带个 $l o g$ ？？？）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

int calc(int x)
{
	while(x%10==0)
	{
		x/=10;
	}
	int f=x%10;
	int a=0;
	while(x)
	{
		++a,x/=10;
	} 
	return (f==5)?(a<<1)-1:(a<<1);
}//计算一个数的link值

int p10[10];
vector<int>val[30];
void Build()
{
	p10[0]=1;
	for(int i=1;i<=9;i++) p10[i]=p10[i-1]*10; 
	
	for(int i=1;i<=6;i++)
	{
		for(int j=p10[i-1];j<p10[i];j++)
		{
			if (j%10!=0)
			{
				if (j%10==5)
				{
					val[(i<<1)-1].push_back(j);
				}
				else
				{
					val[(i<<1)].push_back(j);
				}
			}
		}
	}
        //预处理出每个link值对应的有哪些数，这是老版本的爆搜里面的一个优化
        //还有一点，这个vector里面是保证有序的
}

int l,r;
void Solve()
{
	if (r-l<=1000000)//小的情况
	{
		int ans=10000,ansk=l;
		for(int i=l;i<=r;i++)
		{
			int t=calc(i);
			if (t==1)
			{
				printf("%lld\n",i);
				return;
			}
			if (t<ans)
			{
				ans=t;
				ansk=i;
			}
		}
		printf("%lld\n",ansk);
		return;
	}
	
	int ans=10000,ansk=l;//别的情况
	for(int i=1;i<=12;i++)//从小到大枚举link值,准确来讲枚举到6即可，我当时不放心枚举到了12，只是肯定不会被算到答案里罢了
	{
		for(int j=0;j<val[i].size();j++)//枚举一个数
		{
			for(int tmp=val[i][j];tmp<=r;tmp*=10)//不断在后面加0，看看能不能进来[l,r]范围内
			{
				if (tmp>=l)//for循环中保证了<=r，所以
				{
                                        //更新答案
					if (i<ans)
					{
						ans=i;
						ansk=tmp;
					}
					else if (i==ans)
					{
                                                由于还要找最小的那个数，所以要这一步
						ansk=min(ansk,tmp);
					}
				}
			}
		}
	}
	if (ans!=10000) 
	{
		printf("%lld\n",ansk);
		return;
	}
	
	printf("testdata is very duliu.\n"); //事实证明没有这样的情况2333
}

main()
{
	Build();//别忘了预处理
	int T;scanf("%lld",&T);
	while(T-->0)
	{
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		Solve();
	}
	return 0;
}