根号平衡法

根号平衡

1.算法分析

有时我们会碰到这样一类问题，长度为$n$的序列，$m$个询问（通常$n$和$m$同阶），可能存在两种比较显然的方法，一种是预$O(n)$处理$O(1)$回答，一种是不预处理回$O(n)$答*$m$*个询问，这两种方法都是$O(n^2)$的。考虑是否存在一种策略能“平衡”一下预处理和询问的复杂度。

2.典型例题

CF1447F2 Frequency Problem (Hard Version)

题意： 给出一串数字，要求找到一个最长子区间，需要满足：这个子区间中出现最多次数的数字有不止一个。

例如：1 1 1 5 4 1 3 1 2 2

满足要求的最长区间为5 4 1 3 1 2 2，因为1和2都出现了2次

题解： 先来想朴素的算法，首先可以确定的是假设在整个数组中出现次数最多的数字为$mx$，那么对于答案区间，$mx$必然也是出现次数最多的数之一。所以我们可以枚举另一个出现次数最多的数，另其为d，然后从前往后扫描整个数组，遇到d则使cur++，遇到$mx$则使$cur--$，用数组$last[cur]$ 记录cur第一次出现的位置，那么对于位置$i$,得到一个$cur$值，$i-last[cur]+1$则是满足$mx$和$d$出现次数相等的最长区间,那么怎么找到最终的答案呢，就需要枚举$d$,这样复杂度是$O(n^2)$

但是本题数据量大，不能采用$O(n^2)$的算法，考虑根号平衡，读入时记录$a[i]$在数组中出现的次数$cnt[a[i]]$。然后处理时，只选取$cnt[a[i]$