【洛谷题解/SDOI2008】P2158 仪仗队

原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2158
难度：提高+/省选-
涉及知识点：欧拉筛，欧拉函数
涉及知识点一览：

• 欧拉筛求欧拉函数

题意

有一个 $n\times n$ 的方阵，在方阵整齐的情况下，从 $(0,0)$ 往四周看，最多能看到多少人。

分析与解决

如果一个人能被视线看到，那么他一定没有遮挡，如果他没有遮挡，则说明他的横纵坐标 $(x,y)$ 互质，即 $\gcd (x,y)=1$。因为如果 $\gcd (x,y)\ne 1$，那必然存在一个 $k$ 满足 $\gcd (x/k,y/k)=1$，那么显然 $(x,y)$ 就会被 $(x/k,y/k)$ 遮挡。

所以，我们只需要求对 $n$ 求一遍欧拉函数同时还要做一遍前缀和，也就是 $phi[i]+=phi[i-1]$。初始化 $phi[0]=phi[1]=1$，另外横坐标和纵坐标都要求一遍欧拉函数，所以对于结果还需要乘 2，而欧拉函数不会考虑到 $x=y$ 的情况，所以最终答案还要加 1，因为满足 $x=y$ 且 $x\perp y$ 的数对仅有 $(1,1)$。

AC代码

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

typedef long long LL;

int n;
int primes[N], phi[N], cnt;
bool st[N];

LL get_eulers(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x; i++)
    {
        if (!st[i])
        {
            primes[cnt++] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }

        for (int j = 0; primes[j] <= x / i; j++)
        {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
            {
                phi[primes[j] * i] = phi[i] * primes[j];
                break;
            }
            phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
        }
        phi[i] += phi[i - 1];
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    n--;

    phi[1] = phi[0] = 1;
    if (n == 0)
    {
        cout << 0;
        return 0;
    }

    int ans = get_eulers(n);

    cout << phi[n] * 2 + 1;
    return 0;
}