7-18 二分法求多项式单根

二分法求函数根的原理为：如果连续函数f(x)在区间[a,b]的两个端点取值异号，即f(a)f(b)<0，则它在这个区间内至少存在1个根r，即f(r)=0。

二分法的步骤为：

• 检查区间长度，如果小于给定阈值，则停止，输出区间中点(a+b)/2；否则
• 如果f(a)f(b)<0，则计算中点的值f((a+b)/2)；
• 如果f((a+b)/2)正好为0，则(a+b)/2就是要求的根；否则
• 如果f((a+b)/2)与f(a)同号，则说明根在区间[(a+b)/2,b]，令a=(a+b)/2，重复循环；
• 如果f((a+b)/2)与f(b)同号，则说明根在区间[a,(a+b)/2]，令b=(a+b)/2，重复循环。

本题目要求编写程序，计算给定3阶多项式f(x)=a​3​​x​3​​+a​2​​x​2​​+a​1​​x+a​0​​在给定区间[a,b]内的根。

输入格式：

输入在第1行中顺序给出多项式的4个系数a​3​​、a​2​​、a​1​​、a​0​​，在第2行中顺序给出区间端点a和b。题目保证多项式在给定区间内存在唯一单根。

输出格式：

在一行中输出该多项式在该区间内的根，精确到小数点后2位。

输入样例：

3 -1 -3 1
-0.5 0.5

输出样例：

0.33

此题的主体是用循环实现二分法的思路解决问题。个人觉得此题中更值得注意的是判断条件的选择，如果a与b的区间长度小于0.01，说明a，b中至少有一个数是三位小数。因为根还要两数相加除以2， 这样就能够保证根能够精确到小数点后两位。

#include<iostream>
#include<iomanip>

using namespace std;

double fun(double x);

double i_1, i_2, i_3, i_4;

int main(){
	double a, b, root;
	int flag = 0;
	cin >> i_1 >> i_2 >> i_3 >> i_4 >> a >> b;
	while(b - a >= 0.01){
		if(fun(a) == 0){
			root = a;
			flag = 1;
			break;
		}else if(fun(b) == 0){
			root = b;
			flag = 1;
			break;
		}
		
		if(fun((a + b) / 2) == 0){
			root = (a + b) / 2;
			flag = 1;
			break;
		}
		
		if(fun((a + b) / 2) * fun(a) > 0) a = (a + b) / 2;
		else b = (a + b) / 2;
	}
	if(flag) cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(2) << root;
	else cout << setiosflags(ios::fixed) << setprecision(2) << (a + b) / 2;
}

double fun(double x){
	return i_1 * x * x * x + i_2 * x * x + i_3 * x + i_4;
}