48、最小成员覆盖与击中问题研究

最小成员覆盖与击中问题研究

1. 引言

集合覆盖问题是计算机科学和组合优化中的基础问题，在实际场景建模中发挥着重要作用。其一个重要变体是最小成员集合覆盖（MMSC）问题，定义如下：给定一个点集 $P$ 和一个对象集 $O$（区域），用对象子集 $O’ \subseteq O$ 覆盖 $P$ 中的所有点，使得点的最大深度最小化，点 $p \in P$ 的深度是 $O’$ 中包含该点的对象数量，$O’$ 称为 $P$ 的覆盖，$d(O’)$ 表示 $P$ 中任意点相对于 $O’$ 的最大深度。

与 MMSC 问题“对偶”的是最小成员击中集（MMHS）问题：给定一个点集 $P$ 和一个对象集 $O$（区域），确定一个点子集 $P’ \subseteq P$ 与所有对象 $O$ 相交，使得对象的最大深度最小化，对象 $o \in O$ 的深度是 $P’$ 中与该对象相交的点的数量，$P’$ 称为 $O$ 的击中集，$d(P’)$ 表示 $O$ 中任意对象相对于 $P’$ 的最大深度。

此外，还有广义最小成员击中集（GMMHS）问题，给定两个对象集 $R$（“红色”）和 $B$（“蓝色”），目标是用 $R$ 的子集 $R’$ 与 $B$ 中的所有对象相交，使得 $R’$ 中与 $B$ 中单个对象相交的红色对象的最大数量最小化。

1.1 过往研究

标准集合覆盖问题是 NP 难的。简单的贪心启发式算法能给出 $O(\log n)$ 因子的近似解，且计算优于对数级别的近似解是 NP 难的。最小成员集合覆盖变体最早由 Kuhn 等人提出，他们证明该问题不能被近似到优于 $O(\log n)$，并给出了匹配该下界的近似因子。Erlebach 和 van L