25、利用整数规划求解器得到完全图的欧拉循环长度上界

利用整数规划求解器得到完全图的欧拉循环长度上界

1. 引言

在图论中，如果一个连通图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图就存在一个包含所有边的回路，即欧拉回路。对于一个给定图的欧拉回路，如果其最短子循环的长度是最大的，那么这个长度就被称为该图的欧拉循环长度。对于大于或等于 3 的奇数 $n$，用 $e(n)$ 表示具有 $n$ 个顶点的完全图 $K_n$ 的欧拉循环长度。

此前的研究已经表明，对于所有满足 $3 \leq n \leq 13$ 的奇数 $n$，$e(n)$ 的值可以通过计算机验证实验得到。例如，当 $n$ 为 7、9、11 或 13 时，$e(n) = n - 3$。同时，对于任何大于或等于 15 的奇数 $n$，有 $n - 4 \leq e(n) \leq n - 2$。而本文将证明，对于每个大于或等于 15 的奇数 $n$，$e(n) \leq n - 3$ 成立。

1.1 相关概念

• 欧拉循环长度 ：如果一个欧拉图 $G$ 的每个欧拉回路都有长度小于或等于 $k$ 的子循环，并且存在一个欧拉回路没有长度小于 $k$ 的子循环，那么 $k$ 就被称为 $G$ 的欧拉循环长度。用 $e(G)$ 表示欧拉图 $G$ 的欧拉循环长度，对于正奇数 $n \geq 3$，$e(n)$ 表示具有 $n$ 个顶点的完全图 $K_n$ 的欧拉循环长度，即 $e(K_n)$。
• 子循环 ：图 $G$ 的一个循环 $C = v_0 \to v_1 \to v_2 \to \cdots \to v_k \to v_0$ 被称为路径 $W = w_0