16、具有社交距离的树的最优划分

具有社交距离的树的最优划分

1. MaxSWP问题概述

MaxSWP问题的最优解也被称为最优划分。此前研究表明，即使对于最大度为6的图，MaxSWP问题也是NP难的。而在完全图和完全二部图中，全局划分是MaxSWP问题的唯一最优划分。

以下是相关命题：
- 命题1 ：在完全图和完全二部图中，全局划分是MaxSWP问题的唯一最优划分。
- 命题2 ：存在一个多项式时间算法，能为任何图找到一个划分，使得每个代理的效用至少为1/2。

由命题2可知，存在一个划分C满足 ϕ(G, C) ≥ n/2，所以任何图的最优划分的社会福利也至少为n/2。
- 推论1 ：图G的任何最优划分C∗满足 ϕ(G, C∗) ≥ n/2。

由于对于任何图G和划分C， ϕ(G, C)的上限为n - 1，Branzei等人提出的算法是一个2 - 近似算法。此外，还有如下性质：
- 命题3 ：对于最优划分C∗中的每个联盟C，子图G[C]是连通的。

2. 路径的最优划分

在路径Pn中，根据命题3，联盟诱导的子图也是路径。通过考察Pn的平均社会福利，我们可以确定Pn最优划分中联盟的图结构。

设h(k) = ∑(i = 1 to k) 1/i为正整数k的调和函数。Pn的社会福利和平均社会福利分别表示为 ϕ(Pn) = (2 ∑(k = 1 to n - 1) h(k)) / n 和 ˜ϕ(Pn) = (2 ∑(k = 1 to n - 1) h(k))