9、最大宽度空方形和矩形环问题研究

最大宽度空方形和矩形环问题研究

1. 引言

在计算几何领域，计算能包围输入点集 $P$ 的最小几何对象是核心研究问题之一，这类问题在为客户定位理想设施方面有广泛应用，涉及的几何形状包括圆形、矩形和环形等。然而，在某些应用中，要在点集 $P$ 中建造的设施被认为是“有害”的，即点集 $P$ 中的每个点都希望离它越远越好。此时，定位有害设施的问题常被解释为在 $P$ 中寻找最大的空几何对象。

例如，不包含点集 $P$ 的最大圆或正方形的中心，分别对应能使欧几里得距离或 $L_{\infty}$ 距离最大化的点有害设施的最佳位置。使用 Voronoi 图可以在最优的 $O(n \log n)$ 时间内找到最大空圆或正方形，而 Aggarwal 和 Suri 提出的计算最大面积空轴平行矩形的最佳算法运行时间为 $O(n \log^2 n)$。此外，寻找点集 $P$ 中任意方向的最宽空走廊问题也是这一概念下的有趣问题，Houle 和 Maciel 提出了一个 $O(n^2)$ 时间的算法，之后还出现了许多变体和扩展。

本文沿着这一研究方向，研究最大宽度空环形问题，即寻找一个环形有害设施在输入点集 $P$ 中的最佳位置。具体讨论了方形和矩形变体，并提出了非平凡算法。计算最大宽度空轴平行方形和矩形环形的算法分别运行在 $O(n^3)$ 和 $O(n^2 \log n)$ 时间，且都只使用 $O(n)$ 空间。

2. 问题定义和术语

• 坐标系和点的表示 ：在平面 $R^2$ 的笛卡尔坐标系中，对于平面上的任意点 $p$，用 $x(p)$ 和 $y(p)$ 表示其 $x$ 和 $y$ 坐标。