5、星型结构上的 r - 聚集问题研究

星型结构上的 r - 聚集问题研究

在许多实际场景中，如资源分配、设施布局等，常常会遇到需要将一组点进行聚类或分配到特定设施的问题。本文聚焦于星型结构上的 r - 聚集聚类和 r - 聚集问题，提出了相应的算法并分析了其性质和复杂度。

1. 基本定义

• 星型结构 ：设 $L = {l_1, l_2, \cdots, l_d}$ 是一组由 $d$ 条射线组成的集合，所有射线共享一个公共源点 $o$，称 $L$ 为星型结构，$o$ 为星型的中心，星型的度为构成它的射线数量 $d$。
• 距离度量 ：两点 $p$ 和 $q$ 的欧几里得距离记为 $d_E(p, q)$，沿射线测量的距离记为 $d(p, q)$。若 $p$ 和 $q$ 在同一条射线上，$d(p, q) = d_E(p, q)$；若在不同射线上，$d(p, q) = d_E(p, o) + d_E(o, q)$。
• 聚类类型 ：包含来自两条或更多射线的点的聚类称为多射线聚类，否则为单射线聚类。聚类 $C$ 的端点 $p$ 和 $q$ 满足 $d(p, q) = cost(C)$，聚类 $C$ 中的远点 $e(C)$ 满足 $d(o, p) \geq d(o, q)$ 对每个 $q \in C$ 成立。

2. 问题定义

• r - 聚集聚类问题 ：设 $C = {c_1, c_2, \cdots, c_n}$ 是位于星型上的 $n$ 个点，$C$ 的 r - 聚集聚类是将 $