30、量子信道容量相关知识解读

量子信道容量相关知识解读

1. 互补信道的定义与性质

在量子信道的研究中，互补信道是一个重要概念。对于两个信道 $\Phi \in C(X, Y)$ 和 $\Psi \in C(X, Z)$（其中 $X$、$Y$ 和 $Z$ 为复欧几里得空间），若存在一个等距算子 $A \in U(X, Y \otimes Z)$，使得对于任意 $X \in L(X)$ 都有 $\Phi(X) = Tr_Z(AXA^ )$ 和 $\Psi(X) = Tr_Y(AXA^ )$，则称 $\Phi$ 和 $\Psi$ 是互补的。

根据相关推论可知，对于任意信道 $\Phi \in C(X, Y)$，必然存在一个复欧几里得空间 $Z$ 和一个与之互补的信道 $\Psi \in C(X, Z)$，这样的 $\Psi$ 可通过 $\Phi$ 的斯廷斯普林表示得到。

同时，若 $\Phi$ 和 $\Psi$ 是互补信道，且 $\sigma \in D(X)$ 为一个状态，则有 $I_C(\sigma; \Phi) = H(\Phi(\sigma)) - H(\Psi(\sigma))$。证明过程中，通过定义一个单位向量 $u = (A \otimes 1_X) vec(\sqrt{\sigma})$，利用纯态 $uu^*$ 的性质得出相关结论。

2. 经典 - 量子积态信道编码

在研究量子信道的经典容量时，考虑使用固定量子态集合来编码经典信息是一个基础任务。设 $\Gamma = {0, 1}$ 为二进制字母表，${ \sigma_a : a \in \Sigma } \subseteq D(X)$ 为一组固定的量子态（其中 $X$ 为复欧几里