数值积分

数值积分是应用函数在给定区间上的定义，计算出在该区间 上的积分(近似)值。

为什么需要数值积分?
从数学上说，有些初等函数的原函数不是初等函数 ；
有些时候我们只知道函数在给定区间上有限个点处的函数值 ；
虽然有些函数的原函数可以得到，但是求值过于复杂；

数值积分的策略是用另一个函数替代原来的被积函数，而前者的积分是很容易计算的。
多项式(来自于多项式插值或逼近)以及样条函数是常用的选择。

目标是计算积分

$$\int_a^b f(x)dx$$

给定[a,b]中的节点$x_0,x_1,\cdots,x_n$,应用Lagrange插值过程：
基函数：

$$l_i(x)=\Pi_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j},\quad i=0,1,\cdots,n$$

插值多项式：

$$p(x)=\sum_{i=0}^nf(x_i)l_i(x)$$

近似积分：

$$\int_a^bf(x)dx \approx \int_a^bp(x)dx=\sum_{i=0}^nf(x_i)\int_a^bl_i(x)dx$$

从而得到一个对所有n阶多项式是精确成立的积分公式：

$$\int_a^bf(x)dx \approx \sum_{i=0}^nA_if(x_i)$$
其中：
$$A_i=\int_a^bi_i(x)dx$$

如果节点是等距的，那么上 面的公式称为Newton-Cotes公式。

例子：
当$n=1, x_0=a, x_1=b$时，计算得到

$$A_0=A_1=\frac{b-a}{2}$$
相应的数值积分公式为
$$\int_a^bf(x)dx \approx \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$
这个积分公式叫做梯形法则。

误差估计：
多项式插值中的误差：

$$E(x)=f(x)-p(x)=f''(\xi_x)(x-a)(x-b)/2$$
对其进行积分并利用积分中值定理：
$$\int_a^bE(x)dx=-\frac{1}{2}\int_a^bf''(\xi_x)(x-a)(b-x)dx=-\frac{1}{12}(b-a)^3f''(\xi)$$

复化梯形法则
把区间[a,b]划分为

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$$
在每个自区间上利用梯形法则，得到复化梯形法则：
$$\int_z^bf(x)dx=\sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i }f(x)dx\approx \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})[f(x_{i-1})+f(x_i)]$$