循环矩阵

今天讲讲线性代数中的一类特殊的矩阵———循环矩阵。

形如：

$$\begin{Vmatrix} a_1&a_2&a_3 &\cdots &a_n \\ a_n&a_1&a_2&\cdots &a_{n -1}\\ a_{n-1}&a_n&a_3&\cdots &a_{n-2}\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ a_2&a_3&a_4&\cdots &a_1 \end{Vmatrix}$$
的矩阵称为循环矩阵，记为$A=Circ(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)$

$P=Circ(0,1,0,\cdots,0)$称为基本循环矩阵。（同时也是一个置换矩阵）

我们有：

$$A=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}P^k$$

$P$的特征多项式为：$\lambda^n-1$
因此它的特征值为：

$$z^j\quad(j=0,1,\cdots,n-1,z=e^{\frac{2\pi}{n}i},i=\sqrt{-1})$$

记

$$x_j=\frac{1}{\sqrt{n}}(1,z^j,z^{2j},\cdots,z^{(n-1)j})^T$$
则$x_0,x_1,\cdots,x_{n-1}$为$P$的一组标准正交特征向量

记：

$$U=(x_0,x_1,\cdots,x_{n-1})$$
则$U$为酉矩阵，且：
$$P=Udiag(1,z,z^2,\cdots,z^{n-1})U^*$$

记

$$f(t)=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}t^k$$
那么：
$$A=Udiag(f(1),f(z),f(z^2),\cdots,f(z^{n-1}))U^*$$

结论是：
我们可以用一个固定的酉矩阵将所有循环矩阵酉对角化！！！