动态规划—完全背包问题

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。

完全背包问题

题目

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

HDU1114

题意：存钱罐可以往里面放一些价值小的钱，但是时间久了就不知道里面有多少钱了，除非你打破它。现在给出空罐子的重量和最满能装到多重，然后给出每种硬币的价值和重量，我们要在不打破它的情况下确认罐子里最少有多少钱。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;


const int N=11111;
const int INF=0x3f3f3f3f;//无穷大

int main() {
	int t,empty,fill,V,i,j,n,cost[N],weight[N];
	int dp[N];
	scanf("%d",&t);
	while(t--) {
		scanf("%d%d",&empty,&fill);
		V=fill-empty;
		int cost[N],weight[N];
		scanf("%d",&n);
		for(i=1; i<=n; i++) {
			scanf("%d%d",&weight[i],&cost[i]);
		}
		dp[0]=0;
		for(i=1; i<=V; i++) {
			dp[i]=INF;
		}
		for(i=1; i<=n; i++) {
			for(j=cost[i]; j<=V; j++) {
				dp[j]=min(dp[j],dp[j-cost[i]]+weight[i]);
			}
		}

		if(dp[V] ==INF) 
		printf("This is impossible.\n");
		else 
		printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", dp[V]);
	}

}

完全背包：

for (int i=1; i<=N; i++)  
        for (int j=1; j<=M; j++)  
        {  
            if (weight[i]<=j)  
            {  
                f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]]+value[i]);  
            }             
        }