完全背包问题【动态规划】

最新推荐文章于 2025-07-05 20:15:34 发布

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本文深入解析了完全背包问题，一种经典的动态规划问题。通过详细解释状态转移方程和提供样例代码，帮助读者理解如何求解最大可装入价值。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

完全背包：

假设有 n 种物品（每种物品可装入次数不限），至多可装入容积为 m 的容器当中，试问最大可装入的价值为多少？

设w[ i ]为第 i 件物品重量，v[ i ]为第i件物品价值

dp[ i ][ j ]表示将前 i 种物品装入重量 j 的容器当中

状态转移方程：

当i = 0 或 j = 0时，dp[ i ][ j ] = 0
当w[ i ] > j时，装不下，dp[ i ][ j ] = dp[ i-1 ][ j ]
当w[ i ] ≤ j时，设循环变量n，满足n*v[ i ] ≤ j，dp[ i ][ j ] = max( dp[ i ][ j ], dp[ i-1 ][ j-n*w[ i ]] + n*v[ i ] )
第2、3条可以合并，第2条等价于n=0时第3条的特例

样例输入：

第一行：物品种类n，最大容量m
第二行：每种物品重量
第三行：每种物品价值

3 7
3 4 2
4 5 3

样例输出：

最大可装入价值

样例代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1001//物品最大数 
#define MAXM 1001//重量最大数 
int dp[MAXN][MAXM];//dp数组 
int w[MAXN],v[MAXN];//重量和价值数组 
int n;//物品数量
int full;//最大可装重量 
void solve();//解题函数 
int main(){
	cin>>n;//输入数量
	cin>>full;//输入重量  
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>w[i];//输入重量 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>v[i];//输入价值 
	}
	solve(); 
	return 0;
}
void solve(){
	for(int i=0;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<=full;j++){
			if(i==0 || j==0) dp[i][j]=0;//边界dp，结果为0 
			else{
				dp[i][j]=0;//初始0 
				for(int n=0;n*w[i]<=j;n++){
					dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-n*w[i]]+n*v[i]);//大小比较 
				}
			}
		}
	}
	cout<<dp[n][full]<<endl;//输出结果 
}

tips：

完全背包同01背包一样，可利用滚动数组进行空间优化，这里不再贴出代码，优化思路详见01背包问题