算法之动态规划（DP）求解完全背包问题

算法之动态规划（DP）求解01背包问题
上面这篇文章主要讲解了01背包问题和动态规划算法，如果你不了解动态规划算法，建议先浏览一下这篇文章熟悉一下，因为，本文的算法思想是基于这篇文章的。

1、什么是完全背包问题？

01背包问题：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，权重为w[i]，每个物品只能取1次放入背包中，背包所有物品权重和最大是多少？

完全背包 ：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，权重为w[i]，每个物品可以取无限次放入背包中，背包所有物品权重和最大是多少？

01背包问题和完全背包问题的区别就在于，每个物品取的最大次数是1次还是无限次。

2、动态规划的状态和转移方程

参考01背包的状态和转移方程，来推导完全背包的状态和转移方程。

01背包问题的状态和转移方程：

状态： f[i][j]  选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移：f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-1][j]) 

现在物品可以取无数次，那么f[i][j]怎么构造合适呢？
完全背包，有N个物品，背包容量V，最终求解背包的最大权重，因此，完全背包和 01背包这些都一致，因此，状态一致。f[i][j] 选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。

状态转移方程如何构造呢？
01背包问题每次增加第i物品时，因为只能取一次，从j中减去v[i]，再加上w[i]，这个操作只进行了一次。现在可以增加无数次，大家想想，怎么做呢？

大家可以留出5秒钟的时间来思考…

时间到，聪明的朋友肯定想到了，第i个物品可以增加0次（即f[i-1][j]），增加1次，增加2次，增加3次…增加k-1次，（这里k*v[i] > j），然后求所有值的最大值作为f[i][j]的值。
因此我们可以写出状态和状态转移方程：

状态： f[i][j]  选择前i个物品，体积为j时的最优方案，即所选物品的最大权重和。
状态转移：f[i][j