基础数论算法（4）中国剩余定理

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#算法 #中国剩余定理 #数论 #exgcd #学习笔记

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本文详细解析了中国剩余定理的应用及其求解方法，并通过实例介绍了如何解决线性同余方程组问题，同时探讨了当模数不互质情况下的解决思路。

最后的gcd相关！

中国剩余定理是这么一个问题。
“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？”
答曰：二十三。口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。
嗯，我知道没有看懂。
首先来说一下这题是干啥的。实际上，题目想让解一个线性同余方程组：

⎧ ⎩ ⎨ x \equiv 2 (m o d 3) x \equiv 3 (m o d 5) x \equiv 2 (m o d 7)

$\begin{cases} x\equiv 2 (mod \ \ 3)\\ x\equiv 3 (mod \ \ 5)\\ x \equiv 2 (mod \ \ 7)\end{cases}$
古人的做法是这样的：
假设用向量

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)$ 表示线性同余方程组

⎧⎩⎨x≡1(mod 3)x≡0(mod 5)x≡0(mod 7) $\begin{cases} x\equiv 1 (mod \ \ 3)\\ x\equiv 0 (mod \ \ 5)\\ x \equiv 0 (mod \ \ 7)\end{cases}$
那么我们首先求出

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)$ ，

⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)$ ，

⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)$
显然对于

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)$ ，x应该是35的倍数，即

x≡1(mod 35) $x\equiv 1(mod \ \ 35)$ ，试一下就知道结果是70.同理，

⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)$ =21，

⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)$ =15.
现在我们来看看，原方程组

⎛⎝⎜232⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 2\\3\\2\end{matrix} \right)$ =2

⎛⎝⎜100⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 1\\ 0\\0\end{matrix} \right)$ +3

⎛⎝⎜010⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix} \right)$ +2

⎛⎝⎜001⎞⎠⎟ $\left( \begin{matrix}0\\ 0\\1\end{matrix} \right)$ =233.
计算一下3*5*7=105，所以结果就是233%105=23.
不知各位有体会到古人的智慧么？中国剩余定理是这样的：
自然数

m1,m2,m3,...,mn $m_1,m_2,m_3,...,m_n$ 两两互质，若N=

m1⋅m2⋅m3⋅...⋅mn $m_1·m_2·m_3·...·m_n$ ，则方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪x≡b1(mod m1)x≡b2(mod m2)...x≡bn(mod mn) $\begin{cases}x \equiv b_1(mod \ \ m_1)\\ x\equiv b_2(mod \ \ m_2)\\...\\ x\equiv b_n(mod \ \ m_n)\end{cases}$ 在模N同余下有唯一解。
模板：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MAXN 10003
LL W[MAXN],B[MAXN],k;//k个方程式表示a同余B[n](mod W[n])
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL gcd=exgcd(b,a%b,x,y);
    LL t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return gcd;
}
LL china(){
    LL x,y,a=0,m,n=1;
    for(int i=0;i<k;++i) n*=W[i];
    for(int i=0;i<k;++i){
        m=n*W[i];
        exgcd(W[i],m,x,y);
        a=(a+y*m*B[i])%n;
    }
    if(a>0) return a;
    else return a+n;
}
int main(){
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;++i)
        cin>>W[i]>>B[i];
    cout<<china();
}

那么如果遇到了非互质的情况怎么办？
http://www.cnblogs.com/Robert-Yuan/p/4646632.html
这是我个人觉得讲的相当好的一篇。因为我自认为没办法讲的比他清楚，这里也就不献丑了。
是不是觉得非常的坑？别担心。

zhx讲了一个非常神奇的方法：大数翻倍法，如果你想找到该方法的科学严谨的定义，可以去参考小学五年级数学奥数书。
这个方法是这样的：首先根据前两个式子得出一个公共的值，从而合并为一个新的式子。翻倍部分的实现如下：

int fanbei(int a1,int p1,int a2,int p2){//p1<p2
    ans=a2;
    while(ans % p1 != a1) ans+=p2;
    return ans;
}

将大数不断加倍直到满足小数的条件，非常神奇，复杂度是玄学的O( $\sum a_{n}-min(a_n)$ )
这个方法是具有极强泛用性的，所以可以放心食用，不过……因为是玄学复杂度互质还是用剩余定理吧
~~难道有人会因为担心卡SPFA专门去写Dijkstra吗！其实是有的orz~~

那么关于同余和gcd的部分就告一段落了……之后是极为刺激的素数！

基础数论算法（4） 中国剩余定理

基础数论算法（4）中国剩余定理