数论基础---------中国剩余定理(CRT)

最新推荐文章于 2024-12-04 22:23:47 发布

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数论基础---------中国剩余定理(CRT)

形如 $ax \equiv b\ mod\ m$ 的是线性同余方程，当且仅当 $b$ 能够被 $gcd(a, m)$ $整除$ 整除记作 $gcd(a, m)|b$ ，方程有解;

如果 $x_{0}$ 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为： $x_{0} + k*\frac{m}{gcd(a, m)}$ ；

在模m的意义下，恰好有 $gcd(a, m)$ 个（每隔 $\frac{m}{gcd(a, m)}$ 个，有一个解，故 $[0, n)$ 有 $\frac{m}{\frac{m}{gcd(a, m)}}$ ,）；

问题：给定未知数量的物品，3个3个分剩2个，5个5个分剩3个，7个7个分剩2个，问这些物品有多少个？

我们需要构造这个答案

$5*7*inv(5*7, 3) \equiv 1\ mod \ 3$

$3*7*inv(3*7, 5) \equiv 1\ mod \ 5$

$3*5*inv(3*5, 7) \equiv 1\ mod \ 7$

两边同乘你需要的数

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