中国剩余定理&扩展中国剩余定理 入门详解

中国剩余定理

例题

• 已知以下$n$同余方程（所有$m_i$互质）：
• $x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)$
• $x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)$
• $x\equiv a_3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_3)$
• ……
• $x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)$
• 求最小的$x$.

样例

$n=3$
$x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$
$x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$
$x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7)$

朴素解法

• 先找出符合第一条的最小的$x$，
• 那么$x=4$.
• 再看使它符合第二条，同时保证第一条成立，每次加上$3$，
• $x=7$时，成立，
• 还要使它满足第三条，同时保证前两条成立，每次加上$gcd(3,5)=15$，
• $x=52$时，成立，
• 所以最终答案就是$x=52$。
• 这样做非常慢，如果式子太多效率是非常低的。

中国剩余定理

• 先令$M=\Pi m_i$