中国剩余定理概述

最新推荐文章于 2021-09-01 14:01:57 发布

lvmaooi

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分类专栏：数论

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本文详细介绍了中国剩余定理的应用及实现方式，包括通过扩展欧几里得算法求解特解的方法，以及如何将多个方程合并为一个通解的过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

机房大佬已经提前几个月把这个玩意儿融会贯通。
蒟蒻瑟瑟发抖啊~
那么这里再推一下加深记忆。（当时什么鬼NOI2018就把数论跪了）
剩余定理解决什么问题咧？
$x$ % $m_1=r_1$
…
$x$ % $m_i=r_i$
然后我们要求 $x$ 。
一般来说有这么几个条件， $m$ 的 $gcd$ 不会太大，有时候要求 $m$ 互质，但是那种做法我看不懂，直接学的扩展中国剩余定理。所以一般看到限制 $gcd$ 的都可以想一想中国剩余定理。

转化一下式子：
$x=m_1*k_1+r_1$
$x=m_2*k_2+r_2$
…
$x=m_i*k_i+r_i$

中国剩余定理的思想就是两两合并。我们怎么把两个式子合成一个并且不丢失解？

我们1式减2式可得： $m_1*k_1-m_2*k_2=r_2-r_1$
这个长得像扩欧的式子我们可以用扩欧求解。然后我们可以求出 $k_1$ 。再把 $k_1$ 带回1式，解出 $x$ 的个特殊解。
然后得到特殊解以后就很好办了。我们把 $lcm(m_1,m_2)$ 求出来。因为 $x$ 加减 $lcm(m_1,m_2)$ 是不会影响余数的。至此我们把两个式子 $x$ 的通解表示出来： $x'=x+k*lcm(m_1,m_2)$ 。是不是和上面的式子长得很像呢？我们把 $lcm(m_1,m_2)$ 看做 $m$ ，特解看做 $r$ 就又变成了一个式子。
由于 $lcm$ 不会很大，我们就愉快地解决了这个问题。

code（poj2891）：
多组数据害人啊。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

int n;
long long m1,r1,m2,r2,x,y;

long long exgcd(long long a,long long b){
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    long long ret=exgcd(b,a%b);
    long long tep=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=tep;
    return ret;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&n)){
      scanf("%lld%lld",&m1,&r1);
      bool fg=0;
      for(int i=2;i<=n;i++){
        scanf("%lld%lld",&m2,&r2);
        long long d=exgcd(m1,-m2);
        if((r2-r1)%d!=0) fg=1;
        x*=(r2-r1)/d;
        long long t=(-m2)/d;if(t<0) t=-t;
        x=(x%t+t)%t;
        t=m1*x+r1;
        m1=m1*m2/exgcd(m1,m2),r1=t;
      }
      if(fg==1) printf("-1\n");
      else printf("%lld\n",(r1%m1+m1)%m1);
    }
}