洛谷P7909 [CSP-J 2021] 分糖果题解

1.题目链接

P7909 [CSP-J 2021] 分糖果

2.题意简述

输入n,L,R,在[L,R]中找到一个值k,使得 k mod n 值最大,并将此值输出
注:mod为取模运算符

3.样例解读

样例解读

  • 样例1中,n=7,L=16,R=23,其意思为在16~23中找到一个数字k,使得 k mod n 的值最大,通过计算发现当k=20时,20 mod 7=6,则输出6,祥见下方图表
    样例一
  • 样例2中,n=10,L=14,R=18,其意思为在14~18中找到一个数字课k,使得 k mod n 的值最大,通过计算发现当k=18时,18 mod 10=8,则输出8,详见下方图表
    样例二

4.解题思路

  • 读完此题并结合样例理解题意后,可能会优先考虑暴力枚举,枚举[L,R]中的所有值,找到符合题意的结果,但需注意的是题目中的数据范围: 2 ≤ n ≤ L ≤ R ≤ 1 0 9 2\leq n\leq{L} \leq R \leq10^9 2
### 问题解CSP-J 2021 中的“糖果”问题要求找出在给定范围内,某个孩子能够获得的最多剩余糖果数。题目中,糖果总数为 $ n $,孩子可以选择的糖果数量范围为 $ l $ 到 $ r $。每次糖果时,孩子只能获得所选糖果数对 $ n $ 取模后的余数。因此,目标是找出在这个区间内,取模后余数最大的值。 ### 解题思路 1. **取模运算特性**: - 对于任意整数 $ i $,其对 $ n $ 取模的结果 $ i \% n $ 的范围是 $ 0 $ 到 $ n-1 $。 - 在区间 $ l $ 到 $ r $ 内,寻找最大余数时,可以利用取模运算的周期性特性。 2. **优化策略**: - 如果区间长度 $ r - l + 1 \geq n $,那么区间中一定包含一个完整的模 $ n $ 周期,因此最大余数为 $ n-1 $。 - 如果区间长度小于 $ n $,则需要遍历该区间,计算每个值的模 $ n $ 余数,并找出最大值。 ### C++ 实现 #### 方法一:暴力枚举 适用于较小数据范围的解法,直接遍历 $ l $ 到 $ r $ 的所有值,计算其模 $ n $ 的余数,并记录最大值。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n, l, r; cin >> n >> l >> r; int max_remainder = 0; for (int i = l; i <= r; i++) { max_remainder = max(max_remainder, i % n); } cout << max_remainder << endl; return 0; } ``` #### 方法二:优化解法 根据模运算的特性,当区间长度 $ r - l + 1 \geq n $ 时,可以直接输出 $ n-1 $;否则,遍历区间并计算最大余数。 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n, l, r; cin >> n >> l >> r; if (r - l + 1 >= n) { cout << n - 1 << endl; } else { int max_remainder = 0; for (int i = l; i <= r; i++) { max_remainder = max(max_remainder, i % n); } cout << max_remainder << endl; } return 0; } ``` ### 时间复杂度- **暴力枚举**:时间复杂度为 $ O(r-l+1) $,最坏情况下可能达到 $ O(n) $。 - **优化解法**:时间复杂度为 $ O(1) $,当区间长度 $ r - l + 1 \geq n $ 时直接输出结果,否则遍历区间,时间复杂度为 $ O(r-l+1) $。 ### 空间复杂度- 两种方法的空间复杂度均为 $ O(1) $,仅使用了常量级别的额外空间。 ### 总结 通过析模运算的特性,可以高效地解决“糖果”问题。对于大规模数据,优化解法显著减少了计算时间,避免了不必要的遍历操作。
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