洛谷P1980 [NOIP2013 普及组] 计数问题题解

NOIP2013计数问题:求1~n中数字x的出现次数
本文解析了NOIP2013普及组一道计数问题,介绍如何通过for和while循环计算1到n内数字x的出现次数,涉及代码实现和解题思路。

1.题目链接

P1980 [NOIP2013 普及组] 计数问题

2.题意描述

计算1~n中,数字x出现了多少次

3.样例解读样例

  • 样例:输入11,1 即在1~11中计算出1出现了多少次,共出现了4次,分别为1出现了1次,10出现了1次,11出现了两次

4.解题思路

此题目利用for循环遍历1~n的所有数字,每遍历到一个数字就利用while循环将这个数字的每一位从后往前逐一取出来判断其是否为我们要找的数字x,如果是的话就用一个累加器标记好,最终对全部数字遍历结束,输出累加器里的值

5.代码实现

#include <iostream>
using namespace std;

int n,x,sum;
 
int main(){
    cin>>n>>x;
    for(int i=1;i<=n;i++){
   //i一定要复制给一个中间变量,i只用来控制for循环遍历到哪个数字,中间变量用于拆分每一位
        int k=i;    
        while(k>0){  //循环终止条件为数字里的每一位都被取出来判断过了
            if(k%10==x){   //取出当前数字的个位
                sum++;
            }
            k=k/10;     //将当前数字的个位去掉,此位数已经判断过了
        }
    }
    cout<<sum;
    return 0;
}
### 解题思路 题目要求统计在区间 `1` 到 `n` 的所有整数中,数字 `x`(0 ≤ x ≤ 9)出现的次数。例如,在 `1` 到 `11` 中,数字 `1` 出现了 `4` 次。解决这类问题的关键在于遍历每个数字,并拆分每一位,统计其中等于 `x` 的位数。 #### 方法一:双重循环 最直观的解法是使用双重循环。外层循环遍历 `1` 到 `n` 的每一个数字 `i`,内层循环则对该数字进行逐位拆分。在拆分过程中,每次取个位数(`i % 10`),判断是否等于 `x`,如果等于,则计数器加 `1`。然后将该数字除以 `10`(`i /= 10`),继续判断下一位,直到 `i` 变为 `0`。这种方法虽然简单,但时间复杂度较高,尤其是当 `n` 较大时,效率较低。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n, x, count = 0; cin >> n >> x; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int num = i; while (num > 0) { if (num % 10 == x) { count++; } num /= 10; } } cout << count; return 0; } ``` #### 方法二:递归拆分 另一种方法是使用递归函数来拆分数字。定义一个 `check` 函数,该函数接收当前数字 `n` 和目标数字 `x`,然后取个位数并与 `x` 进行比较。如果相等,则计数器加 `1`。然后将数字除以 `10`,继续递归调用,直到数字变为 `0`。这种方法在逻辑上与双重循环相似,但通过递归的方式实现了数字的拆分和统计。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int count = 0; void check(int n, int x) { if (n == 0) return; if (n % 10 == x) { count++; } check(n / 10, x); } int main() { int n, x; cin >> n >> x; for (int i = 1; i <= n; ++i) { check(i, x); } cout << count; return 0; } ``` #### 方法三:单层循环优化 尽管双重循环和递归方法在逻辑上清晰,但它们在处理大范围数字时效率不高。为了优化性能,可以采用单层循环的方式,避免嵌套循环带来的性能损耗。具体做法是,直接对每个数字进行逐位处理,通过不断取模和除法操作,实现对每一位的判断。这种方法在时间复杂度上与双重循环一致,但由于减少了函数调用或嵌套循环的开销,实际运行速度更快。 ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n, x, count = 0; cin >> n >> x; for (int i = 1; i <= n; ++i) { int num = i; while (num > 0) { if (num % 10 == x) { count++; } num /= 10; } } cout << count; return 0; } ``` #### 方法四:数学方法(进阶) 对于某些特定情况,可以采用数学方法优化统计过程。例如,可以利用每一位上数字的分布规律,直接计算某一位上 `x` 出现的次数。该方法较为复杂,适用于大规模数据的处理,但在本题中可能显得过于复杂,适合进阶学习者深入研究。 --- ### 总结 上述方法中,最常用的是**双重循环**和**单层循环优化**。对于初学者来说,双重循环更易于理解和实现,而单层循环优化则在性能上略有优势。对于编程竞赛而言,掌握这些基础算法是解决问题的关键。 ---
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