欧拉函数板子

欧拉函数：小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）
在线求欧拉函数：

//求欧拉函数板子 
//根号n求欧拉函数 注意是 i*i<=x 
int getphi(int x)
{
    int tmp=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            while(x%i==0) x/=i; 
            tmp/=i;tmp*=(i-1);
        }
    }
    if(x>1) tmp/=x,tmp*=(x-1);
    return tmp;
}

线性筛求欧拉函数
1. phi(p)=p-1 因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i)
3. 若i mod p ≠0, 那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)

//O(n)求欧拉函数
int prime[N+5],phi[N+5];bool noprime[N+5];
//1. phi(p)=p-1   因为质数p除了1以外的因数只有p，故1至p的整数只有p与p不互质
//2. 如果i mod p = 0, 那么phi(i * p)=p * phi(i)
//3.若i mod p ≠0,  那么phi(i * p)=phi(i) * (p-1)
void euler()
{
    int size=0;
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!noprime[i]){
            prime[++size]=i;
            phi[i]=i-1;
        } 
        for(int j=1;j<=size&&i*prime[j]<=N-5;j++){
            noprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//!!
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

降幂公式

当x≥ϕ(p)时，有$a^{x}≡a^{x mod ϕ(p)+ϕ(p)}(mod$ $p)$
这部分可以参考“上帝与集合”