Lucas定理板子洛谷P3807

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本文介绍使用Lucas定理求解组合数C(m,n)%p问题的方法，并对比了两种逆元求解方式：O(n)预处理逆元和在线求逆元。通过代码示例详细展示了每种方法的具体实现。

数论Lucas定理是用来求 C(m，n)%p的值,【p是素数】

【辣鸡杭电针对我，在洛谷上能A在杭电上就要T】
HDU3037还涉及到隔板法，详情见此
洛谷直接给了公式。
1、O（n）预处理逆元

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+5;
/*ll fac[N],facinv[N],inv[N];
void getinv(int n,int p)
{
    inv[1]=1;
    facinv[0]=1,facinv[1]=1;
    fac[0]=1,fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%p;
    }
}*/
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return;
    } 
    int xx,yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy;
    y=xx-a/b*yy;
}
ll inv(int a,int p)
{
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}
ll comb(int n,int m,int p)
{
    ll ans=1;
    for(int i=m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%p;
    for(int i=1;i<=n-m;i++)
        ans=ans*inv(i,p)%p;
    return ans;
}
ll Lucas(int n,int m,int p)
{
    if(n<m) return 0;
    if(n<p&&m<p)  return comb(n,m,p);
    return Lucas(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
} 
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,m,p;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
    //  getinv(p-1,p);
        printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,p));
    }
    return 0;
}

2、在线求逆元

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1e5+5;
/*ll fac[N],facinv[N],inv[N];
void getinv(int n,int p)
{
    inv[1]=1;
    facinv[0]=1,facinv[1]=1;
    fac[0]=1,fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
        facinv[i]=facinv[i-1]*inv[i]%p;
    }
}*/
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return;
    } 
    int xx,yy;
    exgcd(b,a%b,xx,yy);
    x=yy;
    y=xx-a/b*yy;
}
ll inv(int a,int p)
{
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return (x%p+p)%p;
}
ll comb(int n,int m,int p)
{
    ll ans=1;
    for(int i=m+1;i<=n;i++) ans=ans*i%p;
    for(int i=1;i<=n-m;i++)
        ans=ans*inv(i,p)%p;
    return ans;
}
ll Lucas(int n,int m,int p)
{
    if(n<m) return 0;
    if(n<p&&m<p)  return comb(n,m,p);
    return Lucas(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
} 
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,m,p;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        printf("%lld\n",Lucas(n+m,m,p));
    }
    return 0;
}