组合数学之隔板法

算法 - 数学 - 组合数 - 隔板法求组合数 一、求组合数 二、隔板法 隔板法是組合數學的方法,用來處理n個無差別的球放進k個不同的盒子的問題。可一般化為求不定方程的解數,並利用母函數解決問題。 隔板法與插空法的原理一樣。 应用隔板法必须满足3个条件:    这n个元素必须互不相异; 所分成的每一组至少分得1个元素; 分成的组别彼此相异。 基本例子 把10个相同的小球放入3个不同的箱子,每个箱子至少一个,问有几种情况? 分析: 10个相同的小球, 中间有9个空格可以插入板,... 阅读详情

http://blog.youkuaiyun.com/c20181220_xiang_m_y/article/details/56838897
http://blog.youkuaiyun.com/helloworld10086/article/details/48494613
现扔两个链接对应两种不同的做法。

大意:

在n棵树上摘0~m个果子,有多少种摘法?

解法:

法一

摘的数目刚好为m时,相当于在n个盒子里装m个球。
1.当盒子不能为空时。
相当于m个球之间有m-1个空隙,插入n-1个板子。此情况方案数为C(m-1,n-1)
2.当盒子可以为空时。(实际情况为此)
此情况方案数等于n个盒子装有m+n个球且盒子不能为空的方案数(*)。
此情况相当于(*)中每个盒子取出一个球。此时有的盒子可能为空且球的数目=m
此情况方案数为C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)

因为可以摘0~m个果子,所以方案数和为:
sum=C(m+n-1,m)+C(m+n-2,m-1)+C(m+n-3,m-2)+……+C(n-1,0)
因为杨辉三角组合数:C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
所以
sum=C(n-1,0)+C(n,1)+…+C(n+m-1,m)
= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+…+C(n+m-1,m)
= C(n+m,m)

法二

接着法一这里说

2.当盒子可以为空时。(实际情况为此)
此情况方案数等于n个盒子装有m+n个球且盒子不能为空的方案数(*)。
此情况相当于(*)中每个盒子取出一个球。此时有的盒子可能为空且球的数目=m
此情况方案数为C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)

那么当n个盒子里的球的总数可以小于m时呢?
我们可以在加一个盒子,把多出来的盒子去掉后,剩下的小球数目必定<=m
第一步:n+1+m个小球分别放入n+1个盒子里(此时每个盒子都不能为空)。
第二步:从每个盒子里拿走一个小球,此时出现有的盒子里没有小球的情况。
第三步:把第n+1个盒子拿走,剩下的小球总数<=m
这样的方案数仍旧是:C(n+m,n)

组合数学-隔板法 隔板法是组合数学中用于解决将不可区分对象分配到可区分盒子问题的方法。根据对象分配的限制条件,分为正整数解和非负整数解两种情况。 阅读详情

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B. Palm", title = "Prediction as a candidate for learning deep hierarchical models of data", year = "2012",}```Contact: rasmusbergpalm at gmail dot comDirectories included in the toolbox-----------------------------------`NN/` - A library for Feedforward Backpropagation Neural Networks`CNN/` - A library for Convolutional Neural Networks`DBN/` - A library for Deep Belief Networks`SAE/` - A library for Stacked Auto-Encoders`CAE/` - A library for Convolutional Auto-Encoders`util/` - Utility functions used by the libraries`data/` - Data used by the examples`tests/` - unit tests to verify toolbox is workingFor references on each library check REFS.mdSetup-----1. Download.2. addpath(genpath('DeepLearnToolbox'));Example: Deep Belief Network---------------------```matlabfunction test_example_DBNload mnist_uint8;train_x = double(train_x) / 255;test_x = double(test_x) / 255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit RBM and visualize its weightsrand('state',0)dbn.sizes = [100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);figure; visualize(dbn.rbm{1}.W'); % Visualize the RBM weights%% ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NNrand('state',0)%train dbndbn.sizes = [100 100];opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;opts.momentum = 0;opts.alpha = 1;dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);%unfold dbn to nnnn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);nn.activation_function = 'sigm';%train nnopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.10, 'Too big error');```Example: Stacked Auto-Encoders---------------------```matlabfunction test_example_SAEload mnist_uint8;train_x = double(train_x)/255;test_x = double(test_x)/255;train_y = double(train_y);test_y = double(test_y);%% ex1 train a 100 hidden unit SDAE and use it to initialize a FFNN% Setup and train a stacked denoising autoencoder (SDAE)rand('state',0)sae = saesetup([784 100]);sae.ae{1}.activation_function = 'sigm';sae.ae{1}.learningRate = 1;sae.ae{1}.inputZeroMaskedFraction = 0.5;opts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;sae = saetrain(sae, train_x, opts);visualize(sae.ae{1}.W{1}(:,2:end)')% Use the SDAE to initialize a FFNNnn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm';nn.learningRate = 1;nn.W{1} = sae.ae{1}.W{1};% Train the FFNNopts.numepochs = 1;opts.batchsize = 100;nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.16, 'Too big error');```Example: Convolutional Neural Nets---------------------```matlabfunction test_example_CNNload mnist_uint8;train_x = double(reshape(train_x',28,28,60000))/255;test_x = double(reshape(test_x',28,28,10000))/255;train_y = double(train_y');test_y = double(test_y');%% ex1 Train a 6c-2s-12c-2s Convolutional neural network %will run 1 epoch in about 200 second and get around 11% error. %With 100 epochs you'll get around 1.2% errorrand('state',0)cnn.layers = { struct('type', 'i') %input layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 6, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %sub sampling layer struct('type', 'c', 'outputmaps', 12, 'kernelsize', 5) %convolution layer struct('type', 's', 'scale', 2) %subsampling layer};cnn = cnnsetup(cnn, train_x, train_y);opts.alpha = 1;opts.batchsize = 50;opts.numepochs = 1;cnn = cnntrain(cnn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = cnntest(cnn, test_x, test_y);%plot mean squared errorfigure; 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% Dropout fraction opts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex4 neural net with sigmoid activation functionrand('state',0)nn = nnsetup([784 100 10]);nn.activation_function = 'sigm'; % Sigmoid activation functionnn.learningRate = 1; % Sigm require a lower learning rateopts.numepochs = 1; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 100; % Take a mean gradient step over this many samplesnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex5 plotting functionalityrand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]);opts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through datann.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');%% ex6 neural net with sigmoid activation and plotting of validation and training error% split training data into training and validation datavx = train_x(1:10000,:);tx = train_x(10001:end,:);vy = train_y(1:10000,:);ty = train_y(10001:end,:);rand('state',0)nn = nnsetup([784 20 10]); nn.output = 'softmax'; % use softmax outputopts.numepochs = 5; % Number of full sweeps through dataopts.batchsize = 1000; % Take a mean gradient step over this many samplesopts.plot = 1; % enable plottingnn = nntrain(nn, tx, ty, opts, vx, vy); % nntrain takes validation set as last two arguments (optionally)[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);assert(er < 0.1, 'Too big error');```[![Bitdeli Badge](https://d2weczhvl823v0.cloudfront.net/rasmusbergpalm/deeplearntoolbox/trend.png)](https://bitdeli.com/free "Bitdeli Badge")

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