组合数学之隔板法

http://blog.youkuaiyun.com/c20181220_xiang_m_y/article/details/56838897
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现扔两个链接对应两种不同的做法。

大意：

在n棵树上摘0~m个果子，有多少种摘法？

解法：

法一

摘的数目刚好为m时，相当于在n个盒子里装m个球。
1.当盒子不能为空时。
相当于m个球之间有m-1个空隙，插入n-1个板子。此情况方案数为C(m-1,n-1)
2.当盒子可以为空时。（实际情况为此）
此情况方案数等于n个盒子装有m+n个球且盒子不能为空的方案数（*）。
此情况相当于（*）中每个盒子取出一个球。此时有的盒子可能为空且球的数目=m
此情况方案数为C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)

因为可以摘0~m个果子，所以方案数和为：
sum=C(m+n-1,m)+C(m+n-2,m-1)+C(m+n-3,m-2)+……+C（n-1,0)
因为杨辉三角组合数：C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
所以
sum=C(n-1,0)+C(n,1)+…+C(n+m-1,m)
= C(n,0)+C(n,1)+C(n+1,2)+…+C(n+m-1,m)
= C(n+m,m)

法二

接着法一这里说

2.当盒子可以为空时。（实际情况为此）
此情况方案数等于n个盒子装有m+n个球且盒子不能为空的方案数（*）。
此情况相当于（*）中每个盒子取出一个球。此时有的盒子可能为空且球的数目=m
此情况方案数为C(m+n-1,n-1)=C(m+n-1,m)

那么当n个盒子里的球的总数可以小于m时呢？
我们可以在加一个盒子，把多出来的盒子去掉后，剩下的小球数目必定<=m
第一步：n+1+m个小球分别放入n+1个盒子里（此时每个盒子都不能为空）。
第二步：从每个盒子里拿走一个小球，此时出现有的盒子里没有小球的情况。
第三步：把第n+1个盒子拿走，剩下的小球总数<=m
这样的方案数仍旧是：C(n+m,n)