大白话5分钟带你走进人工智能-第十二节梯度下降之背后的原理之泰勒公式(7)

最新推荐文章于 2025-02-03 15:55:01 发布

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分类专栏：大白话人工智能机器学习算法文章标签：梯度下降原理

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本文深入探讨了梯度下降算法背后的数学原理，重点介绍了泰勒公式在逼近光滑函数中的应用，以及如何通过一阶泰勒近似实现函数最优化，揭示了梯度下降中学习率和方向选择的数学依据。

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大白话5分钟带你走进人工智能-第十二节梯度下降之背后的原理之泰勒公式(7)

我们接下来给大家深化一下，梯度下降背后到底是什么原理？谈到这个，我们要谈到一个叫泰勒展开的这么一个数学定理，泰勒发现任何一个函数不用管它有多复杂，不管它什么样，千奇百怪的任何一个函数，都可以写成关于N阶导数的一个多项式。即

$f(x)=\sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)$

解释下，在A点附近，比如说A为1，那么在1附近，那么f(x)=f(1),你有个解析式，f(1)总能算出来，把1丢进去算出来，那么泰勒展开即：

$f(x)=\frac{f(1) (x-1)^{0}}{1}+\frac{f{}'(1) (x-1)^{1} }{1} +\frac{f{}''(x-1)^{2} }{2}+\frac{f^{\prime \prime\prime}(x-1)^{3} }{6}+...$

$f^{\prime \prime}$ 是二阶导数，什么叫二阶导数？导函数再求一下导。这么一直这么往下加，加到余项为零的时候就加完了。假如余项始终不为零，它就一直无限这么加下去，加的项越多，这个函数越像原始的函数。

泰勒公式实际上用多项式函数去逼近一个光滑函数，什么叫逼近？因为它是把一个原始的函数拆成好多项了，那么拆项越多，这个加出来的结果就越像原函数。那好好的一个普通的函数，你为什么非得要给它拆成好多项呢？一个X2+1，就两项很简单的，你为什么要给它变成N项？实际上不是所有的函数都是能这么写，比如sin X，在计算机里，实际上计算sin X背后的本质是它他先进行完了泰勒展开，展开成200 多项，然后把这200多项算出来，得到sin X到底是多少。这个是交给计算机计算的这么一种方式。再比如 $f(x)=e^{x}$ ，此时我令a=0，就相当于在零点附近给它展开。如果按照刚才展开式来讲的话，零阶展开就是n等于0， $F(x)=e^{0} * 1=1$ ，X轴是x=1,你发现0阶展开，如果把余项抛弃了的话，就是一条直线，这条直线像原函数吗？看起来不像。但在x=0这一点上的这条直线跟这个原函数很像。假如阶数增高的话，如图：

可以看到，随着阶数的升高，甚至仅仅到达十阶展开的时候，在我们肉眼可及的地方，它跟原函数已经非常接近了。零阶展开，如果就光说零附近的话，即使是零阶展开，在极小的区域里它也是比较像的，对吧？随着阶数越来越多，是不是离零越远的地方也越跟原函数很像了？这就是泰勒展开的本质。它实际上就是通过在某一点附近用一个多项式去逼近原来的原函数，你可以理解为它是一个原函数的近似取值。

回到我们梯度下降来说，我们梯度下降其实就是对原函数展开一个一阶泰勒近似。假如对泰勒展开式在x0进行一阶泰勒展开，只得到两项。第一项就是f(x0),第二项就是（x-x0）f`(x0)。这个式子里谁是未知数？谁是已知数？可以发现只有x是未知数，剩下这些数虽然写的是字母，但实际上你带到真实的场景里，就能算出来是具体的数。假如此时的f是损失函数的话，在x0的值是可求的，x0点的导数也可求。这x0自然也是知道的，所以它的一阶泰勒的近似公式就是已经知道的了。

我们看梯度下降是怎么来的？回到函数最优化问题上，如果我初始出来一组W0了，你想让W0加上λd这个东西之后带回到损失函数里，希望损失函数越小越好。也就是我们想要找到一个 λd 使上一代的 w+λd后损失函数下降得最多，即 min 𝐸 𝑤0 + 𝜆𝑑 。λ是学习率，d应该等于什么值？按照之前经验，d应该等于负的梯度才对。为什么d等于负梯度？我们来一步步推导。我们对E在w0附近进行一阶泰勒展开：

$\mathrm{E}(w) \approx E\left(w_{0}\right)+\left(w-w_{0}\right) f^{\prime}\left(w_{0}\right)$

如果把𝑤0 + 𝜆𝘦入到上面的展开式里面也就是：

$\begin{aligned} E\left(w_{0}+\lambda d\right) & \approx E\left(w_{0}\right)+\left(w_{0}+\lambda d-w_{0}\right) \cdot g\left(w_{0}\right) \\ &=E\left(w_{0}\right)+\lambda d \cdot g\left(w_{0}\right) \end{aligned}$

我们进行完一阶泰勒展开之后，我想要让损失函数：

$E(w_{0}+\lambda d\right))==E\left(w_{0}\right)+\lambda d \cdot g\left(w_{0}\right)$

越小越好。看第一项E(𝑤0)能改变大小吗？它已经是一个既成事实了，λ是你人为定的，所以只有让d.g(𝑤0)越小越好。我们先回顾下向量点乘的几何含义：

$a \bullet b=|a| b | \cos \theta$

也就是两个向量长度乘积再乘一个向量之间的夹角cosθ。所以 $d \cdot g\left(w_{0}\right)=|d| g\left(w_{0}\right) | \cos \theta$$ 。怎么让这结果最小，我们假设d向量长度变小一点，这样能让d*g(𝑤0)这项更小，但是你仔细想，d如果太大小了的话，一阶泰勒展开的不等号还能成立吗？因为我们只展开了一阶，阶数越高，越接近原函数，当d太小的时候，展开的函数是不是就远离原来的W0点了？远离W0点的时候，不等号是不是就不成立了？相当于去求一个跟损失函数不一样的函数的最小值，这是没有意义的。假设向量长度不变的话，那么怎么让它们相乘的结果越小越好？自然而然想到，让cosθ=-1的时候，结果就最小。那什么时候cosθ=-1？也就是θ等于180度的时候，也就是d向量应该跟原来的梯度向量成180度夹角，即当d向量等于负的梯度向量的时候，此时的夹角θ能使cosθ=-1，所以我们通常利用当d=-g(w0)，此时的d向量和g(w0)之间的夹角为180度，这时d*g(𝑤0)就是最小的。这也就是为什么梯度下降每一步的迭代，加的那个东西就刚好是负梯度这么巧，是从一阶泰勒展开，一步步推导出来的。