泰勒展开的理解

最新推荐文章于 2025-06-05 15:17:36 发布
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记录学习分享
参考 https://www.zhihu.com/tardis/sogou/qus/25627482

仿造的过程：由整体到局部，由大面到细节。先在整体上相似，然后在越来越细微的局部上相似，最终连很细微的局部都相似之后，就实现了仿真。

泰勒展开的目的： 就是将sin(x)、ex等不易求解的函数近似成多项式函数形式 a0+a1x1+a2x2+…，这样就可以方便的代数求解。所以泰勒展开的过程就是用多项式函数仿造原始函数的过程。

泰勒思考仿造的过程也是从全局相似逐步到细节相似，一阶导数影响最大，二阶导数是通过影响一阶导数来改变整体函数形状，影响力就小一点，属于更细节的刻画，三阶导数则影响力更小、更加细节，以此类推。所以仿造先在更重要的大局上，让仿造函数与原函数一致，再深入细节，保证细节一致。

从函数上某一个点出发，只要我们保证了两个函数都通过这个点，然后在这个点的一阶导数、二阶导数…n阶导数都一致，也就可以保证过了这个点之后函数按同样的规律变化下去了。所以我们现在要做的就是设计一个多项式函数，让其各阶导数都跟原函数相等就可以了。

在这里插入图片描述

f(x)是原函数，g(x)是我们仿造的多项式函数，可以发现g(x)的n阶导数就是常数fn(x)，也即就等于f(x)的n阶导，到此也就实现了函数仿真。每一项下边的阶乘n!，是因为对g(x)求n阶导数的时候，后边的xn求导n次要掉下来一个n*(n-1)*…21，这样消掉，才保证剩下的导数就是常数fn(x)。

在这里插入图片描述
再补充一下：泰勒展开也可以写成第二个式子的形式，表示从(x0, g(x0))点展开，而不是原来从(0, g(0))点展开。看式子第一项常数项分别为g(0)和g(x0)即可看出，当第一个式子代入x=0时得到g(0),第二个式子代入x=x0时得到g(x0)。第二个式子之所以把xn换成(x-x0)n也即是为了让x=x0时后边的数值被除掉。我们进一步观察xn变成(x-x0)n形式后，其实对后续n阶求导没有影响。因为每次对(x-x0)n求导，等于先对(x-x0)n求导，再乘以对(x-x0)求导，而对(x-x0)求导都为1，也就是与x0无关。

皮亚诺余项/拉格朗日余项

走进数学领域，认识泰勒展开
AI天才研究院
07-09 865
本文的核心目的是用通俗易懂的方式解释泰勒展开的本质：它是如何将复杂函数拆解为多项式的，以及为什么这种拆解有用。我们会覆盖泰勒展开的基本概念（如展开点、导数项、余项）、数学公式、代码实现，以及实际应用场景。范围限定在单变量函数的泰勒展开（不涉及高维），适合对微积分有初步了解（知道导数是什么）但想深入理解泰勒展开的读者。用“计算器计算sin(0.1)”的问题引入，说明为什么需要泰勒展开；用“乐高积木搭函数”的比喻，解释泰勒展开的核心思想；推导泰勒展开的数学公式，用导数和阶乘解释多项式系数；
"COMSOL多极子泰勒展开的数值分析与研究",使用COMSOL分析多极子泰勒展开 ,COMSOL; 多极子; 泰勒展开; 数值模拟分析,COMSOL分析多极子泰勒展开研究
01-29
在工程和物理领域，多极子泰勒展开是一种强大的数学工具，它允许我们通过多项式近似来研究复杂函数的局部行为。COMSOL Multiphysics是一款广泛应用于科学计算和工程设计的模拟软件，它能够为研究者提供一个进行多极...
taylor展开
04-02
为了提高水火风光区间调度的求解效率，使其满足在工程上的可应用水平，本章提出基于区间近似线性化的水火风光联合调度算法。该算法基于区间泰勒展开，将水火风光区间模型采用一阶泰勒展式近似线性逼近，并基于区间序关系与区间可能度关系将水火风光目标函数与不确定约束转换为基于多目标评价函数与罚函数的确定性优化问题，进而采用区间线性近似迭代算法进行求解。本章将从算法的原理、算法流程以及算例，介绍区间近似线性化的水火风光联合调度算法。
泰勒展开式
04-03 890
数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f(x)利用关于(x-x0)的n次多项式来逼近函数的方法。 若函数f(x)在包含x0...
数据结构：递归：泰勒展开式（Taylor Series Expansion）
2402_88047672的博客
06-05 1419
本文摘要：文章从第一性原理出发，推导了用C++递归实现泰勒展开式的方法。通过类比自然数求和递归模式，提出递归计算策略：1)定义基础情况(n=0返回1)，2)先递归计算前n-1项和，3)回溯过程中更新分子(x^n)和分母(n!)的状态，4)累加当前项。关键点在于利用全局变量保存状态，并在递归回溯阶段计算当前项，避免重复计算。最终实现了一个高效递归算法，完整呈现了从数学定义到代码实现的推导过程。
如何理解泰勒展开式，他有何用途？
风起云涌
02-22 3万+
一、泰勒展开思想的由来（也就是学习的时候老师讲的背景） 例如 sinx，conx，e^x函数，当x=2.3时，这个值等于多少，这些数据通常需要借助计算器才可以计算出来，而且只是得到一个近似值。因此数学家们就开始了漫长的思考之路，有没有办法跟这些表达式的图像长得差不多的一个多项式函数呢？，说白了就是sinx，conx这类函数能不能用多项式去表达呢？ 这就是泰勒展开式的出发点！！   那泰勒...
浅显易懂——泰勒展开式
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SoHardToNamed的博客
06-02 12万+
第一次见到泰勒展开式的时候，我是崩溃的。泰勒公式长这样：好奇泰勒是怎么想出来的，我想，得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。首先得问一个问题：泰勒当年为什么要发明这条公式？因为当时数学界对简单函数的研究和应用已经趋于成熟，而复杂函数，比如：这种一看就头疼的函数，还有那种根本就找不到表达式的曲线。除了代入一个x可以得到它的y，就啥事都很难干了。所以泰勒同学就迎难而上！决定让这些式子统统现出原形，...
泰勒展开的应用在科学计算领域
AI天才研究院
01-07 2489
1.背景介绍 泰勒展开(Taylor series)是一种用于表示函数在某一点的近似值的数学方法。它通过对函数的导数和积分进行求和来表示函数的逐项展开。泰勒展开在科学计算领域具有广泛的应用，主要有以下几个方面： 数值解方程：泰勒展开可用于求解方程的数值解，例如用于求解微分方程、积分方程等。 数值积分：泰勒展开可用于计算函数在某一区间的数值积分，例如用于计算面积、体积等。 优化：泰勒展开可用于...
利用COMSOL软件进行多极子泰勒展开的综合分析与探究,使用COMSOL软件进行多极子泰勒展开的数值分析与研究,使用COMSOL分析多极子泰勒展开 ,COMSOL; 多极子; 泰勒展开; 数值模拟分析
03-07
而“多极子泰勒展开的深度解析.html”则可能提供了更为直观的网页形式内容，通过网页的交互性和图形化展示帮助理解复杂概念。 通过COMSOL软件进行多极子泰勒展开的综合分析与研究，不仅可以为物理和工程领域中的...
"使用COMSOL工具深入探究多极子泰勒展开的数值分析与优化","使用COMSOL技术深入探究多极子泰勒展开的数值模拟与解析",使用COMSOL分析多极子泰勒展开 ,COMSOL; 多极子; 泰勒展开
02-12
通过COMSOL软件对多极子泰勒展开的深入研究，我们不仅可以获得更加精确的模拟结果，还可以在理论层面加深对多极子泰勒展开的理解。这项工作对于推进相关科学技术领域的发展具有重要的意义，尤其是在需要处理复杂系统...
基于COMSOL的多极子泰勒展开数值分析与应用 - Python 经典版
05-30
内容概要：本文详细介绍了多极子泰勒展开的概念及其在电磁场、声学、热...阅读建议：读者可以通过本文了解多极子泰勒展开的基础理论，结合COMSOL的实际操作案例加深理解，并尝试使用提供的Python代码进行二次开发实践。
泰勒展开式与人生意义
dingyu_12的博客
02-24 561
泰勒展开式与人生意义 Posted 2009.01.27   在YouTube上看到了一段教数学的视频，就是台湾那个老师讲的。内容是泰勒展开式入门（http://www.youtube.com/watch?v=XXnAoC7BW6k），其中有一些话颇有意义。      如果一个函数如果可以用等号后面的东西表示出来的话，那么这个函数就是说，可以用泰勒展开式的方法展开来的。   ...
泰勒展开
生活不易，多才多艺
07-30 7826
泰勒展开，本质上就是为了在某个点附近，用多项式函数去近似其他函数 泰勒展开式 f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f′′(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!⋅(x−x0)+f″(x0)2!⋅(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!⋅(x−x0)n+Rn(x)f(x)=f(x_0)+\fr...
数学基础 -- 泰勒展开式
sz66cm 学习随笔
07-22 2万+
泰勒展开是一个强大的数学工具，它将复杂的函数表达为幂级数的形式，从而在某个点附近近似该函数。这在数值分析、物理学和工程学中有广泛应用，可以用来逼近函数值、解决微分方程、计算积分等。了解泰勒展开的基本原理和一些典型函数的展开式，对于深入理解和应用数学分析具有重要意义。
【转】泰勒展开式与人生意义
YoY_Raining
06-03 1326
【转】泰勒展开式与人生意义最近重温了一下泰勒展开的相关知识，搜到了下文，觉得茅塞顿开，特Record之~
关于泰勒展开
小白的专栏
12-21 1162
高数不是很好，本科的时候身边同学都是90好几，满分的水平，自己只在80左右徘徊，最近看了好多方法都涉及泰勒展开这么个知识点。今天就来整理整理。 主要包括下面这几点，什么是泰勒展开，以及为什么要泰勒展开。 泰勒展开是以简单的多项式来近似x0邻域内的函数，展开越多，近似程度越高。
怎么用泰勒展开理解频谱搬移
最新发布
07-08
### 泰勒展开与频谱搬移的关系 泰勒展开是一种将函数在某一点附近用无穷级数表示的方法，其形式为： $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $$ 这一方法可以用于分析非线性系统中的信号变换过程，例如调制和频谱搬移现象。在通信系统中，频谱搬移通常通过乘法器实现，即将原始信号与一个正弦波载波相乘，从而将信号的频谱从基带移动到某个射频频段。 当考虑使用泰勒展开来解释频谱搬移时，可以将调制系统的非线性特性展开为多项式形式。例如，假设有一个非线性系统，其输出 $ y(t) $ 与输入 $ x(t) $ 的关系为： $$ y(t) = a_0 + a_1 x(t) + a_2 x^2(t) + a_3 x^3(t) + \cdots $$ 若输入信号为单频正弦波 $ x(t) = \cos(\omega_c t) $，则其平方项可表示为： $$ x^2(t) = \cos^2(\omega_c t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2\omega_c t) $$ 类似地，更高次幂会生成更高阶的谐波频率成分。这种结构在实际应用中常用于混频器或调制器的设计中，其中非线性元件（如二极管、晶体管）产生的高次谐波可用于将低频信号搬移到高频[^4]。 在频谱搬移过程中，若原始信号的频谱为 $ X(f) $，将其与载波 $ \cos(2\pi f_c t) $ 相乘，则相当于在频域中进行卷积操作： $$ Y(f) = \frac{1}{2} [X(f - f_c) + X(f + f_c)] $$ 这表明原信号的频谱被分别搬移到 $ f_c $ 的上下两侧，形成对称的边带结构。该过程可以通过泰勒展开中的二次项推导得出，并进一步推广到更高阶的情况[^4]。 ### 数学推导示例 考虑一个简单的调幅（AM）信号，其表达式为： $$ s(t) = (A + m(t)) \cdot \cos(2\pi f_c t) $$ 其中 $ m(t) $ 是调制信号，$ A $ 是直流偏置，$ f_c $ 是载波频率。若将 $ s(t) $ 展开为泰勒级数并忽略高阶非线性项，则可得： $$ s(t) \approx A \cos(2\pi f_c t) + m(t) \cos(2\pi f_c t) $$ 在频域中，第二项对应于 $ M(f) * [\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)] $，即实现了频谱的搬移效果。 ### MATLAB仿真代码 以下是一个MATLAB代码片段，用于展示频谱搬移过程： ```matlab % 参数设置 fs = 1000; % 采样率 t = 0:1/fs:1; % 时间向量 fm = 5; % 调制信号频率 fc = 100; % 载波频率 % 生成调制信号 m = cos(2*pi*fm*t); % 上变频处理 carrier = cos(2*pi*fc*t); s = m .* carrier; % FFT分析 M = fftshift(fft(m)); S = fftshift(fft(s)); f = (-fs/2:fs/length(t):fs/2 - fs/length(t)); % 绘图显示结果 figure; subplot(2,1,1); plot(f, abs(M)); title('调制信号频谱'); xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('幅度'); subplot(2,1,2); plot(f, abs(S)); title('上变频后信号频谱'); xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('幅度'); grid on; ``` 运行上述代码后，可以观察到调制信号的频谱从中频搬移到了 $ \pm 100\,\text{Hz} $ 处，验证了频谱搬移的数学原理。 ### 总结 利用泰勒展开可以有效地理解非线性系统中的频谱搬移现象。通过将系统响应展开为多项式形式，并结合傅里叶变换的基本性质，能够清晰地描述信号如何在频域中被搬移至新的频率位置。这一方法在通信工程、信号处理等领域具有广泛的应用价值[^4]。
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