泰勒展开的理解

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参考 https://www.zhihu.com/tardis/sogou/qus/25627482

仿造的过程:由整体到局部,由大面到细节。先在整体上相似,然后在越来越细微的局部上相似,最终连很细微的局部都相似之后,就实现了仿真。

泰勒展开的目的: 就是将sin(x)、ex等不易求解的函数近似成多项式函数形式 a0+a1x1+a2x2+…,这样就可以方便的代数求解。所以泰勒展开的过程就是用多项式函数仿造原始函数的过程。

泰勒思考仿造的过程也是从全局相似逐步到细节相似,一阶导数影响最大,二阶导数是通过影响一阶导数来改变整体函数形状,影响力就小一点,属于更细节的刻画,三阶导数则影响力更小、更加细节,以此类推。所以仿造先在更重要的大局上,让仿造函数与原函数一致,再深入细节,保证细节一致。

从函数上某一个点出发,只要我们保证了两个函数都通过这个点,然后在这个点的一阶导数、二阶导数…n阶导数都一致,也就可以保证过了这个点之后函数按同样的规律变化下去了。所以我们现在要做的就是设计一个多项式函数,让其各阶导数都跟原函数相等就可以了。

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f(x)是原函数,g(x)是我们仿造的多项式函数,可以发现g(x)的n阶导数就是常数fn(x),也即就等于f(x)的n阶导,到此也就实现了函数仿真。每一项下边的阶乘n!,是因为对g(x)求n阶导数的时候,后边的xn求导n次要掉下来一个n*(n-1)*…21,这样消掉,才保证剩下的导数就是常数fn(x)。

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再补充一下:泰勒展开也可以写成第二个式子的形式,表示从(x0, g(x0))点展开,而不是原来从(0, g(0))点展开。看式子第一项常数项分别为g(0)和g(x0)即可看出,当第一个式子代入x=0时得到g(0),第二个式子代入x=x0时得到g(x0)。第二个式子之所以把xn换成(x-x0)n也即是为了让x=x0时后边的数值被除掉。我们进一步观察xn变成(x-x0)n形式后,其实对后续n阶求导没有影响。因为每次对(x-x0)n求导,等于先对(x-x0)n求导,再乘以对(x-x0)求导,而对(x-x0)求导都为1,也就是与x0无关。

皮亚诺余项/拉格朗日余项

### 泰勒展开与频谱搬移的关系 泰勒展开是一种将函数在某一点附近用无穷级数表示的方法,其形式为: $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots $$ 这一方法可以用于分析非线性系统中的信号变换过程,例如调制和频谱搬移现象。在通信系统中,频谱搬移通常通过乘法器实现,即将原始信号与一个正弦波载波相乘,从而将信号的频谱从基带移动到某个射频频段。 当考虑使用泰勒展开来解释频谱搬移时,可以将调制系统的非线性特性展开为多项式形式。例如,假设有一个非线性系统,其输出 $ y(t) $ 与输入 $ x(t) $ 的关系为: $$ y(t) = a_0 + a_1 x(t) + a_2 x^2(t) + a_3 x^3(t) + \cdots $$ 若输入信号为单频正弦波 $ x(t) = \cos(\omega_c t) $,则其平方项可表示为: $$ x^2(t) = \cos^2(\omega_c t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(2\omega_c t) $$ 类似地,更高次幂会生成更高阶的谐波频率成分。这种结构在实际应用中常用于混频器或调制器的设计中,其中非线性元件(如二极管、晶体管)产生的高次谐波可用于将低频信号搬移到高频[^4]。 在频谱搬移过程中,若原始信号的频谱为 $ X(f) $,将其与载波 $ \cos(2\pi f_c t) $ 相乘,则相当于在频域中进行卷积操作: $$ Y(f) = \frac{1}{2} [X(f - f_c) + X(f + f_c)] $$ 这表明原信号的频谱被分别搬移到 $ f_c $ 的上下两侧,形成对称的边带结构。该过程可以通过泰勒展开中的二次项推导得出,并进一步推广到更高阶的情况[^4]。 ### 数学推导示例 考虑一个简单的调幅(AM)信号,其表达式为: $$ s(t) = (A + m(t)) \cdot \cos(2\pi f_c t) $$ 其中 $ m(t) $ 是调制信号,$ A $ 是直流偏置,$ f_c $ 是载波频率。若将 $ s(t) $ 展开泰勒级数并忽略高阶非线性项,则可得: $$ s(t) \approx A \cos(2\pi f_c t) + m(t) \cos(2\pi f_c t) $$ 在频域中,第二项对应于 $ M(f) * [\delta(f - f_c) + \delta(f + f_c)] $,即实现了频谱的搬移效果。 ### MATLAB仿真代码 以下是一个MATLAB代码片段,用于展示频谱搬移过程: ```matlab % 参数设置 fs = 1000; % 采样率 t = 0:1/fs:1; % 时间向量 fm = 5; % 调制信号频率 fc = 100; % 载波频率 % 生成调制信号 m = cos(2*pi*fm*t); % 上变频处理 carrier = cos(2*pi*fc*t); s = m .* carrier; % FFT分析 M = fftshift(fft(m)); S = fftshift(fft(s)); f = (-fs/2:fs/length(t):fs/2 - fs/length(t)); % 绘图显示结果 figure; subplot(2,1,1); plot(f, abs(M)); title('调制信号频谱'); xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('幅度'); subplot(2,1,2); plot(f, abs(S)); title('上变频后信号频谱'); xlabel('频率 (Hz)'); ylabel('幅度'); grid on; ``` 运行上述代码后,可以观察到调制信号的频谱从中频搬移到了 $ \pm 100\,\text{Hz} $ 处,验证了频谱搬移的数学原理。 ### 总结 利用泰勒展开可以有效地理解非线性系统中的频谱搬移现象。通过将系统响应展开为多项式形式,并结合傅里叶变换的基本性质,能够清晰地描述信号如何在频域中被搬移至新的频率位置。这一方法在通信工程、信号处理等领域具有广泛的应用价值[^4]。
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