【算法题】最大的奇约数

题目来源：网易

我的解法：

         一开用的是始逐项求最大奇数然后相加的解法，由于后面几个测试用例的n比较大，所以运行超时了，这样就不得不从中找规律来解。

        不难发现，当x为奇数时，f(x)=x。

        当n为奇数，s(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + .... + n = (1 + 3 + 5 + 7 + ...+ n) + (f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(n- 1))

        令k = (n+1)/2, 根据等差数列的性质

        s(n) = k*(1 + n)/2 = k^2 + (2 + 4 + 6 + .. + n-1) = k^2 + (f(1) + f(2) + f(3) + ... +f((n-1)/2))

        s(n) = k^2 + s((n-1)/2) = k ^ 2 + s(n/2)  (这里因为n为奇数，除法只取整数部分，因此(n-1)/2和n/2是一样的)

        当n为偶数，能够得出同样的递推公式。

        显然，这个算法的时间复杂度从原本的O(n)降到了O(logn)。

代码实现

public class LuckyNumber {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner s = new Scanner(System.in);
        int n = s.nextInt();
        System.out.println(oddSum(n));
    }

    public static long oddSum(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        long k = (n + 1) >> 1;
        return k * k + oddSum(n / 2); //如果不用递归，这段也能转化成循环
    }
}