一类最短距离问题

在一个纵横间距为1的网格地图上，有n个比赛选手，他们分别位于某个纵横交点（即x和y坐标都是1的整倍数），将参加一个循环赛（即任意两个选手之间都需要进行比赛），你是赛事的组织者，要结合选手的位置信息来设计一个最佳的比赛赛程，使得他们走的路程总和最少（注选手只能沿着网格线走，不能沿任何对角线穿越），选手一旦完成所有比赛后，可以任意选择行动或停在原地，不需要回到其原来位置。

 

比如：如果有选手A(0,0),B(0,2),C(2,0),D(1,1),E(2,2)，则一个可能的最佳解为：A和B走到(0,1)比赛，C和E走到(2,1)比赛，然后ABCE都走到D处(1,1)比赛，进行剩余所有比赛，所有选手共走了8个单位的距离。

 

 

其实，题目示例本身带有一定的迷惑性，分析可知，如果让所有的比赛都在D处(1,1)进行，也能够得到同解，因为是循环赛，任意两个选手都需要碰面，早碰晚碰并没有关系，但是这个分析可以简化解题思路，即我们只需要找出这么一个点，使得所有选手到它的水平和垂直距离差之和最小。

 

第一想到的可能是重心点，即x=sum{x1,...,xn}/n, y=sum{y1,...yn}/n，改点坐标可能带小数，再测试该点周围的网格点取最小值，这个思路似乎也贴合示例题解，但是，取个任意的x坐标数组，假设为{1,2,3,9,10,100}，重心x=20.83，它在10和100之间，但是换一个角度，如果将取值点前移一个小的delta，在它之前的m个点都缩进delta，在它之后的l各点则延伸delta，总共可以降低(l-m)*delta，扩展一点，如果左侧的点比右侧多，则继续向左移近对降低总距离有益，反正亦然（x坐标和y坐标都适用），所以重心点未必是最佳位置，合理的位置应该是有序坐标的中间点位置，如果数组个数为奇数，则取中间点；如果为偶数，则中间两个点任取一个都可以。

 

所以，比赛场次安排和比赛地点都是幌子，最后的解显得很简洁。

 

public int getTravelDistance(int[] X, int[] Y) { Arrays.sort(X); Arrays.sort(Y); int dist = 0; for(int i=0; i<X.length; i++) dist += Math.abs(X[i]-X[X.length/2]); for(int i=0; i<Y.length; i++) dist += Math.abs(Y[i]-Y[Y.length/2]); return dist; }