回文串扩展问题

探讨了如何通过最少次数的字符插入使任意字符串变为回文串的问题,并提供了一个动态规划解决方案,包括核心代码实现。

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随意搜了一把关键字“回文串”,又发现一个关于回文的好题:对任意的字符串,求最少需要插入多少个字符能使其成为一个回文串。举例:原串为“213456532”,最少插入1和4就可以得到一个回文串“21345654 31 2”。

 

第一感觉这个应该还是有DP解,仔细想想,以任意字符为回文串中心,可以得到左右两个子串A和B(空串也可视为合法串);如果原串中有两个相邻字符是相同的,则以这两个字符为回文串中心,得到A和B。然后问题转化为针对任意字符串A和B,如何插入字符能使得A和BT 变成相同串,BT =reverse(B)。

 

假设dp[i][j]记录的是将A串的前k(k<=i)个字符部分和BT 串的前l(l<=j)个字符部分变成相同串所需插入的最少次数,对于i和j时的情形可以表示为:

1)如果A[i]==BT [j],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1],条件已经符合,不需要插入任何字符,新串A’[1...i]和B’T [1...j]已经相同

2)如果A[i]!=BT [j],则分两种情况:

     A: 假设选择在A[i]后追加字符BT [j],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i]和BT [1...j-1]的解+1

     B: 假设选择在BT [j]后追加字符A[i],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i-1]和BT [1...j]的解+1

     两者取其小,得dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1);

 

转换方程:

g(i,j) =  {  g(i-1,j-1)                             if i and j valid && A[i]==B[j]

             {   min(g(i-1,j)+1, g(i,j-1)+1)   if i and j valid && A[i]!=B[j]

初始值:g(0,j)=j; g(i,0)=i

 

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