随意搜了一把关键字“回文串”,又发现一个关于回文的好题:对任意的字符串,求最少需要插入多少个字符能使其成为一个回文串。举例:原串为“213456532”,最少插入1和4就可以得到一个回文串“21345654 31 2”。
第一感觉这个应该还是有DP解,仔细想想,以任意字符为回文串中心,可以得到左右两个子串A和B(空串也可视为合法串);如果原串中有两个相邻字符是相同的,则以这两个字符为回文串中心,得到A和B。然后问题转化为针对任意字符串A和B,如何插入字符能使得A和BT 变成相同串,BT =reverse(B)。
假设dp[i][j]记录的是将A串的前k(k<=i)个字符部分和BT 串的前l(l<=j)个字符部分变成相同串所需插入的最少次数,对于i和j时的情形可以表示为:
1)如果A[i]==BT [j],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1],条件已经符合,不需要插入任何字符,新串A’[1...i]和B’T [1...j]已经相同
2)如果A[i]!=BT [j],则分两种情况:
A: 假设选择在A[i]后追加字符BT [j],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i]和BT [1...j-1]的解+1
B: 假设选择在BT [j]后追加字符A[i],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i-1]和BT [1...j]的解+1
两者取其小,得dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1);
转换方程:
g(i,j) = { g(i-1,j-1) if i and j valid && A[i]==B[j]
{ min(g(i-1,j)+1, g(i,j-1)+1) if i and j valid && A[i]!=B[j]
初始值:g(0,j)=j; g(i,0)=i