回文串扩展问题

探讨了如何通过最少次数的字符插入使任意字符串变为回文串的问题,并提供了一个动态规划解决方案,包括核心代码实现。

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随意搜了一把关键字“回文串”,又发现一个关于回文的好题:对任意的字符串,求最少需要插入多少个字符能使其成为一个回文串。举例:原串为“213456532”,最少插入1和4就可以得到一个回文串“21345654 31 2”。

 

第一感觉这个应该还是有DP解,仔细想想,以任意字符为回文串中心,可以得到左右两个子串A和B(空串也可视为合法串);如果原串中有两个相邻字符是相同的,则以这两个字符为回文串中心,得到A和B。然后问题转化为针对任意字符串A和B,如何插入字符能使得A和BT 变成相同串,BT =reverse(B)。

 

假设dp[i][j]记录的是将A串的前k(k<=i)个字符部分和BT 串的前l(l<=j)个字符部分变成相同串所需插入的最少次数,对于i和j时的情形可以表示为:

1)如果A[i]==BT [j],则dp[i][j]=dp[i-1][j-1],条件已经符合,不需要插入任何字符,新串A’[1...i]和B’T [1...j]已经相同

2)如果A[i]!=BT [j],则分两种情况:

     A: 假设选择在A[i]后追加字符BT [j],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i]和BT [1...j-1]的解+1

     B: 假设选择在BT [j]后追加字符A[i],使得尾部字符保持一致,于是变成子问题A[1...i-1]和BT [1...j]的解+1

     两者取其小,得dp[i][j] = min(dp[i][j-1]+1, dp[i-1][j]+1);

 

转换方程:

g(i,j) =  {  g(i-1,j-1)                             if i and j valid && A[i]==B[j]

             {   min(g(i-1,j)+1, g(i,j-1)+1)   if i and j valid && A[i]!=B[j]

初始值:g(0,j)=j; g(i,0)=i

 

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/67c535f75d4c 在机器人技术中,轨迹规划是实现机器人从一个位置平稳高效移动到另一个位置的核心环节。本资源提供了一套基于 MATLAB 的机器人轨迹规划程序,涵盖了关节空间和笛卡尔空间两种规划方式。MATLAB 是一种强大的数值计算与可视化工具,凭借其灵活易用的特点,常被用于机器人控制算法的开发与仿真。 关节空间轨迹规划主要关注机器人各关节角度的变化,生成从初始配置到目标配置的连续路径。其关键知识点包括: 关节变量:指机器人各关节的旋转角度或伸缩长度。 运动学逆解:通过数学方法从末端执行器的目标位置反推关节变量。 路径平滑:确保关节变量轨迹连续且无抖动,常用方法有 S 型曲线拟合、多项式插值等。 速度和加速度限制:考虑关节的实际物理限制,确保轨迹在允许的动态范围内。 碰撞避免:在规划过程中避免关节与其他物体发生碰撞。 笛卡尔空间轨迹规划直接处理机器人末端执行器在工作空间中的位置和姿态变化,涉及以下内容: 工作空间:机器人可到达的所有三维空间点的集合。 路径规划:在工作空间中找到一条从起点到终点的无碰撞路径。 障碍物表示:采用二维或三维网格、Voronoi 图、Octree 等数据结构表示工作空间中的障碍物。 轨迹生成:通过样条曲线、直线插值等方法生成平滑路径。 实时更新:在规划过程中实时检测并避开新出现的障碍物。 在 MATLAB 中实现上述规划方法,可以借助其内置函数和工具箱: 优化工具箱:用于解决运动学逆解和路径规划中的优化问题。 Simulink:可视化建模环境,适合构建和仿真复杂的控制系统。 ODE 求解器:如 ode45,用于求解机器人动力学方程和轨迹执行过程中的运动学问题。 在实际应用中,通常会结合关节空间和笛卡尔空间的规划方法。先在关节空间生成平滑轨迹,再通过运动学正解将关节轨迹转换为笛卡
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